不等式 $3x - 7 \ge x + a$ を満たす $x$ のうち、最小の整数が $3$ であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

不等式 $3x - 7 \ge x + a$ を満たす $x$ のうち、最小の整数が $3$ であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $3x - 7 \ge x + a$ を $x$ について解きます。

$3x - 7 \ge x + a$

$3x - x \ge a + 7$

$2x \ge a + 7$

$x \ge \frac{a + 7}{2}$

この不等式を満たす最小の整数が $3$ であることから、以下の不等式が成り立つ必要があります。

$2 \lt \frac{a + 7}{2} \le 3$

これは、$x$ が $3$ 以上の値を取り、$2$ は含まないことを意味します。

上記の不等式の各辺に $2$ を掛けると、

$4 \lt a + 7 \le 6$

次に、各辺から $7$ を引くと、

$4 - 7 \lt a \le 6 - 7$

$-3 \lt a \le -1$

3. 最終的な答え

$-3 \lt a \le -1$