与えられた数式を簡略化して解きます。 $5(x+3)^2 - 2(x+3) - 63$

1. 問題の内容

与えられた数式を簡略化して解きます。

$5(x+3)^2 - 2(x+3) - 63$

2. 解き方の手順

まず、$(x+3)$ を $y$ で置き換えて、式を簡略化します。

$y = x+3$

すると、式は次のようになります。

$5y^2 - 2y - 63$

次に、この二次式を因数分解します。

$5y^2 - 2y - 63 = (5y + a)(y + b)$

$ab = -63$ であり、$5b + a = -2$ となる $a$ と $b$ を探します。

$a = -35$ および $b = \frac{63}{35} = \frac{9}{5}$.

$b$は整数でなければならない。

$a=9$ と $b = -7$ を試します。

$5b+a = 5(-7)+9 = -35+9 = -26$.

$a=-9$, $b = 7$ を試します。

$5b+a = 5(7)-9 = 35-9 = 26$.

$a=35$, $b = -\frac{9}{5}$

整数でなくてはならない。

$5y^2 - 2y - 63 = (5y-2y-63)$を解いてください。

$5y^2 + ay + by - 63$, $a+b = -2$, $ab = -315$

$a=35$, $b=-9$

$5y^2-35y +9y-63 = 5y(y-7) + 9(y-7)$

$(5y+9)(y-7)$

$y = x+3$ を代入します。

$(5(x+3) + 9)((x+3) - 7) = (5x + 15 + 9)(x - 4) = (5x + 24)(x - 4)$

$(5x+24)(x-4) = 5x^2 - 20x + 24x - 96 = 5x^2 + 4x - 96$

元の式を展開してみましょう。

$5(x+3)^2 - 2(x+3) - 63 = 5(x^2 + 6x + 9) - 2x - 6 - 63 = 5x^2 + 30x + 45 - 2x - 6 - 63 = 5x^2 + 28x - 24$

$(5x+a)(x+b)=5x^2+(5b+a)x+ab=5x^2+28x-24$

$ab=-24$ and $5b+a=28$

Let's try $b = 6$ and $a = -4$

$5(6) - 4 = 30 - 4 = 26$.

$b=-6$, $a=4$, $5(-6)+4=-30+4 = -26$

$5b + a = 28$ therefore, $a = 28 - 5b$

$b(28-5b) = -24$

$28b - 5b^2 = -24$

$5b^2 - 28b - 24 = 0$

$b = \frac{28 \pm \sqrt{28^2 - 4(5)(-24)}}{2(5)} = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 480}}{10} = \frac{28 \pm \sqrt{1264}}{10} = \frac{28 \pm 2\sqrt{316}}{10} = \frac{14 \pm \sqrt{316}}{5}$

そこで $(5(x+3)+a)((x+3)+b)=0$になるような $a$ と $b$を見つけたい。

$a=30$と$b=1$のとき、$ab=30$と$5b+a=80$

もう一度、

$5x^2 + 30x + 45 - 2x - 6 - 63$

$5x^2 + 28x - 24 = 0$

$5x^2 + 30x + 45 - 2x - 6 - 63$

$5x^2 + 28x - 24 = (5x - a)(x - b)$

$5x^2 + (5 * (-b)+(-a))*x+(-a)*(-b)$

$5x^2 + (5x - 2)(x + b)$

元の式を再確認すると

$5x^2+28x-24$のようでした.解があるか確認します.

判別式= 28*28 -4*5*(-24)= 784+480= 1264>0.よって解があります.

3. 最終的な答え

$5x^2 + 28x - 24$