以下の3つの命題について、条件がそれぞれ必要条件、十分条件、必要十分条件、またはそれらのいずれでもないかを判定する問題です。 (1) $x=3$ であることは $x^2=9$ であるための条件 (2) $a>b$ であることは $a^2>b^2$ であるための条件 (3) $a^2-3ab+2b^2+3a-3b=0$ であることは $a-2b+3=0$ であるための条件 ただし、$a, b$ は実数とします。

1. 問題の内容

以下の3つの命題について、条件がそれぞれ必要条件、十分条件、必要十分条件、またはそれらのいずれでもないかを判定する問題です。

(1) $x=3$ であることは $x^2=9$ であるための条件

(2) $a>b$ であることは $a^2>b^2$ であるための条件

(3) $a^2-3ab+2b^2+3a-3b=0$ であることは $a-2b+3=0$ であるための条件

ただし、$a, b$ は実数とします。

2. 解き方の手順

(1) $x=3$ ならば $x^2=9$ は真です。しかし、$x^2=9$ ならば $x=3$ または $x=-3$ です。したがって、$x=3$ は $x^2=9$ であるための十分条件ではあるが必要条件ではありません。

よって、(b)

(2) $a>b$ ならば $a^2>b^2$ が成り立つとは限りません。例えば、$a=0, b=-1$ のとき、$a>b$ ですが、$a^2=0, b^2=1$ なので、$a^2 < b^2$ となります。したがって、$a>b$ は $a^2>b^2$ であるための十分条件ではありません。逆に、$a^2>b^2$ ならば $a>b$ が成り立つとは限りません。例えば、$a=-1, b=-2$ のとき、$a^2=1, b^2=4$ なので、$a^2 < b^2$ です。したがって、$a^2>b^2$ は $a>b$ であるための必要条件ではありません。

よって、(d)

(3) $a^2-3ab+2b^2+3a-3b=0$ を因数分解すると、

$a^2 - 3ab + 2b^2 + 3a - 3b = (a-b)(a-2b) + 3(a-b) = (a-b)(a-2b+3) = 0$

したがって、$a^2-3ab+2b^2+3a-3b=0$ は、$a-b=0$ または $a-2b+3=0$ を意味します。

$a-2b+3=0$ ならば $a^2-3ab+2b^2+3a-3b=0$ は真です。

しかし、$a^2-3ab+2b^2+3a-3b=0$ は $a-b=0$ または $a-2b+3=0$ を意味するので、$a^2-3ab+2b^2+3a-3b=0$ ならば $a-2b+3=0$ が必ずしも真ではありません。

したがって、$a^2-3ab+2b^2+3a-3b=0$ は $a-2b+3=0$ であるための必要条件ではあるが、十分条件ではありません。

よって、(a)

3. 最終的な答え

ア: (b)

イ: (d)

ウ: (a)