与えられた3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 6 = 0$ について、以下の2つの場合それぞれにおいて、実数 $a, b$ の値を求め、残りの解を求めます。 (1) $1$ と $-2$ を解に持つ場合 (2) $2$ を重解、$-1$ を解に持つ場合

1. 問題の内容

与えられた3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 6 = 0$ について、以下の2つの場合それぞれにおいて、実数 $a, b$ の値を求め、残りの解を求めます。

(1) $1$ と $-2$ を解に持つ場合

(2) $2$ を重解、$-1$ を解に持つ場合

2. 解き方の手順

(1) $1$ と $-2$ を解に持つ場合

解がわかっているので、それらを方程式に代入します。

$x=1$ を代入すると、

$1 + a + b - 6 = 0$

$a + b = 5$

$x=-2$ を代入すると、

$-8 + 4a - 2b - 6 = 0$

$4a - 2b = 14$

$2a - b = 7$

これら2つの式を連立して解きます。

$a + b = 5$

$2a - b = 7$

足し合わせると

$3a = 12$

$a = 4$

$b = 5 - a = 5 - 4 = 1$

$a=4, b=1$ のとき、方程式は $x^3 + 4x^2 + x - 6 = 0$ となります。

解が $1$ と $-2$ であることは分かっているので、因数分解すると

$(x - 1)(x + 2)(x + 3) = 0$

よって、残りの解は $x = -3$

(2) $2$ を重解、$-1$ を解に持つ場合

解が分かっているので、因数分解すると

$(x - 2)^2 (x + 1) = 0$

$(x^2 - 4x + 4)(x + 1) = x^3 - 4x^2 + 4x + x^2 - 4x + 4 = x^3 - 3x^2 + 4$

これが $x^3 + ax^2 + bx - 6 = 0$ と一致するので、

$x^3 - 3x^2 + 0x + 4 - 10 = 0$

$x^3 - 3x^2 + 0x - 6 \neq x^3 - 3x^2 + 4 = 0$

つまり、$x=-1$が解とならない。

$x = 2$ を重解として持つことから、$x^3 + ax^2 + bx - 6 = (x - 2)^2(x - c) = (x^2 - 4x + 4)(x - c) = x^3 - cx^2 - 4x^2 + 4cx + 4x - 4c = x^3 - (c+4)x^2 + (4c+4)x - 4c = 0$

$-4c = -6$ なので $c = \frac{3}{2}$

よって、$x^3 - (\frac{3}{2} + 4)x^2 + (4(\frac{3}{2})+4)x - 4(\frac{3}{2}) = x^3 - \frac{11}{2}x^2 + 10x - 6 = 0$

$a = -\frac{11}{2}, b = 10$

よって残りの解は $x = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a=4, b=1$, 他の解は $x=-3$

(2) $a=-\frac{11}{2}, b=10$, 他の解は $x=\frac{3}{2}$