(2) 不等式 $|x-4| \le 2x+1$ を解け。 (3) 不等式 $|x+1| > 5x$ を解け。

1. 問題の内容

(2) 不等式 $|x-4| \le 2x+1$ を解け。

(3) 不等式 $|x+1| > 5x$ を解け。

2. 解き方の手順

(2) $|x-4| \le 2x+1$ を解く。

絶対値記号の中の $x-4$ の符号で場合分けを行う。

(i) $x-4 \ge 0$ つまり $x \ge 4$ のとき

$|x-4| = x-4$ であるから、

$x-4 \le 2x+1$

$x - 2x \le 1 + 4$

$-x \le 5$

$x \ge -5$

$x \ge 4$ と $x \ge -5$ の共通範囲は $x \ge 4$

(ii) $x-4 < 0$ つまり $x < 4$ のとき

$|x-4| = -(x-4) = -x+4$ であるから、

$-x+4 \le 2x+1$

$-x - 2x \le 1 - 4$

$-3x \le -3$

$x \ge 1$

$x < 4$ と $x \ge 1$ の共通範囲は $1 \le x < 4$

(i), (ii) より、$x \ge 4$ または $1 \le x < 4$ であるから、

$1 \le x$

(3) $|x+1| > 5x$ を解く。

絶対値記号の中の $x+1$ の符号で場合分けを行う。

(i) $x+1 \ge 0$ つまり $x \ge -1$ のとき

$|x+1| = x+1$ であるから、

$x+1 > 5x$

$x - 5x > -1$

$-4x > -1$

$x < \frac{1}{4}$

$x \ge -1$ と $x < \frac{1}{4}$ の共通範囲は $-1 \le x < \frac{1}{4}$

(ii) $x+1 < 0$ つまり $x < -1$ のとき

$|x+1| = -(x+1) = -x-1$ であるから、

$-x-1 > 5x$

$-x - 5x > 1$

$-6x > 1$

$x < -\frac{1}{6}$

$x < -1$ と $x < -\frac{1}{6}$ の共通範囲は $x < -1$

(i), (ii) より、$-1 \le x < \frac{1}{4}$ または $x < -1$ であるから、

$x < \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(2) $x \ge 1$

(3) $x < \frac{1}{4}$