与えられた条件を満たす2次正方行列の例を挙げる。 (1) $A^2 = B^2$ かつ $A \neq B$ かつ $A \neq -B$ を満たす行列AとBの例を求める。 (2) $AB = 0$ かつ $BA \neq 0$ を満たす行列AとBの例を求める。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次正方行列の例を挙げる。

(1) $A^2 = B^2$ かつ $A \neq B$ かつ $A \neq -B$ を満たす行列AとBの例を求める。

(2) $AB = 0$ かつ $BA \neq 0$ を満たす行列AとBの例を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ 、$B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ とする。

このとき

$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

よって、$A^2 = B^2$ である。

また、$A \neq B$ 、 $A \neq -B$ である。

(2)

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 、$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ とする。

このとき

$AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

これは条件を満たさない。

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 、$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ とする。

このとき

$AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

よって、$AB = 0$ 、$BA \neq 0$ を満たす。

3. 最終的な答え

(1)

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ 、$B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

(2)

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 、$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$