与えられた式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$ を因数分解してください。

## 問題37 (1)

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)$ を適切に組み合わせます。定数項の和が等しくなるように、$(x-1)(x-7)$ と $(x-3)(x-5)$ を組み合わせます。

$(x-1)(x-7) = x^2 - 8x + 7$

$(x-3)(x-5) = x^2 - 8x + 15$

ここで、$x^2 - 8x = A$ とおくと、与えられた式は

$(A+7)(A+15)+15 = A^2 + 22A + 105 + 15 = A^2 + 22A + 120$

$A^2 + 22A + 120$ を因数分解すると、

$A^2 + 22A + 120 = (A+10)(A+12)$

ここで、$A = x^2 - 8x$ を代入すると、

$(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12)$

さらに、$x^2 - 8x + 12$ を因数分解すると、

$x^2 - 8x + 12 = (x-2)(x-6)$

したがって、

$(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12) = (x^2 - 8x + 10)(x-2)(x-6)$

3. 最終的な答え

$(x-2)(x-6)(x^2 - 8x + 10)$

## 問題37 (2)

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-1)(x-2)(x+3)(x+4)+4$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$(x-1)(x-2)(x+3)(x+4)$ を適切に組み合わせます。定数項の和が等しくなるように、$(x-1)(x+3)$ と $(x-2)(x+4)$ を組み合わせます。

$(x-1)(x+3) = x^2 + 2x - 3$

$(x-2)(x+4) = x^2 + 2x - 8$

ここで、$x^2 + 2x = A$ とおくと、与えられた式は

$(A-3)(A-8)+4 = A^2 - 11A + 24 + 4 = A^2 - 11A + 28$

$A^2 - 11A + 28$ を因数分解すると、

$A^2 - 11A + 28 = (A-4)(A-7)$

ここで、$A = x^2 + 2x$ を代入すると、

$(x^2 + 2x - 4)(x^2 + 2x - 7)$

3. 最終的な答え

$(x^2 + 2x - 4)(x^2 + 2x - 7)$

## 問題38 (1)

1. 問題の内容

与えられた式 $16x^4y + 2xy^4$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、共通因数 $2xy$ をくくり出すと、

$16x^4y + 2xy^4 = 2xy(8x^3 + y^3)$

$8x^3 + y^3$ は和の3乗の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を利用して因数分解できます。

$8x^3 + y^3 = (2x)^3 + y^3 = (2x+y)((2x)^2 - (2x)y + y^2) = (2x+y)(4x^2 - 2xy + y^2)$

したがって、

$16x^4y + 2xy^4 = 2xy(2x+y)(4x^2 - 2xy + y^2)$

3. 最終的な答え

$2xy(2x+y)(4x^2 - 2xy + y^2)$

## 問題38 (2)

1. 問題の内容

与えられた式 $x^6 - y^6$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

$x^6 - y^6$ は平方の差の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用できます。

$x^6 - y^6 = (x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 + y^3)(x^3 - y^3)$

$x^3 + y^3$ は和の3乗の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を利用して因数分解できます。

$x^3 - y^3$ は差の3乗の公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を利用して因数分解できます。

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$

$x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$

したがって、

$x^6 - y^6 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)(x-y)(x^2 + xy + y^2)$

並び替えると、

$x^6 - y^6 = (x-y)(x+y)(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$

3. 最終的な答え

$(x-y)(x+y)(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$

## 問題38 (3)

1. 問題の内容

与えられた式 $(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

$X = a-b$, $Y = b-c$, $Z = c-a$ とおくと、 $X+Y+Z = (a-b) + (b-c) + (c-a) = 0$ となります。

$X+Y+Z=0$ のとき、$X^3+Y^3+Z^3 = 3XYZ$ という公式を利用します。

したがって、

$(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

$3(a-b)(b-c)(c-a)$