与えられた式 $(a+b-c)(ab-bc-ca) + abc$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b-c)(ab-bc-ca) + abc$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$(a+b-c)(ab-bc-ca) + abc = a(ab-bc-ca) + b(ab-bc-ca) - c(ab-bc-ca) + abc$

$= a^2b - abc - ca^2 + ab^2 - b^2c - abc - abc + bc^2 + ca^2 + abc$

$= a^2b + ab^2 + bc^2 - abc - b^2c - ca^2 - abc$

$= a^2b + ab^2 - a^2c - abc - b^2c + bc^2 - abc$

$= a^2(b-c) + a(b^2 - 2bc) + b(bc-b c)$

$= a^2(b-c) + ab^2 - 2abc + bc^2 - b^2c$

$= a^2(b-c) + a(b^2-bc-bc) + bc^2 - abc - bc - b^2c$

$= a^2b + ab^2 + bc^2 - abc - ca^2 - abc - b^2c + abc$

$= a^2b + ab^2 + bc^2 - 2abc - ca^2 - b^2c + abc = a^2b + ab^2 + bc^2 - abc - ca^2 - b^2c$

$= a^2(b-c) + a(b^2-bc) + c(bc -b^2)$

$= a^2(b-c) + b(b-c)a - bc(b-c)$

$= a^2(b-c) + ab(b-c) - bc(b-c)$

$= (b-c)[a^2 + ab - bc]$

$= (b-c)[a^2 + ab - bc] = (b-c)[a(a+b) - bc]$

$=(b-c)(a^2 + ab -bc- ca)$

$=(b-c)[(a-c)a + (a-c)b)]$

$=(b-c)[a^2 -ca + ab -bc)]$

$= (b-c)[a(a+b)- c(a+b)]$

$=(b-c)[(a+b)(a-c)]$

$= (a-c)(b-c)(a+b)$

$= (a-c)(a+b)(b-c)$

したがって、

$(a-c)(b-c)(a+b)$

3. 最終的な答え

$(a-c)(b-c)(a+b)$