$x = \frac{1}{\sqrt{6}+2}$、 $y = \frac{1}{\sqrt{6}-2}$ であるとき、以下の式の値を求める問題です。 (1) $x+y$, $xy$ (2) $x^2+y^2$ (3) $x^3+y^3$ (4) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ (5) $\sqrt{x^2-6x+9}$ (6) $\sqrt{x^2+22xy+y^2}$

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{6}+2}$、 $y = \frac{1}{\sqrt{6}-2}$ であるとき、以下の式の値を求める問題です。

(1) $x+y$, $xy$

(2) $x^2+y^2$

(3) $x^3+y^3$

(4) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$

(5) $\sqrt{x^2-6x+9}$

(6) $\sqrt{x^2+22xy+y^2}$

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{1}{\sqrt{6}+2} = \frac{\sqrt{6}-2}{(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)} = \frac{\sqrt{6}-2}{6-4} = \frac{\sqrt{6}-2}{2}$

$y = \frac{1}{\sqrt{6}-2} = \frac{\sqrt{6}+2}{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)} = \frac{\sqrt{6}+2}{6-4} = \frac{\sqrt{6}+2}{2}$

(1) $x+y$と$xy$を計算します。

$x+y = \frac{\sqrt{6}-2}{2} + \frac{\sqrt{6}+2}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$

$xy = \frac{\sqrt{6}-2}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}+2}{2} = \frac{6-4}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(2) $x^2+y^2$を計算します。

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (\sqrt{6})^2 - 2(\frac{1}{2}) = 6 - 1 = 5$

(3) $x^3+y^3$を計算します。

$x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = (\sqrt{6})^3 - 3(\frac{1}{2})(\sqrt{6}) = 6\sqrt{6} - \frac{3}{2}\sqrt{6} = \frac{12\sqrt{6} - 3\sqrt{6}}{2} = \frac{9\sqrt{6}}{2}$

(4) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$を計算します。

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{y^2 + x^2}{xy} = \frac{5}{\frac{1}{2}} = 10$

(5) $\sqrt{x^2-6x+9}$を計算します。

$\sqrt{x^2-6x+9} = \sqrt{(x-3)^2} = |x-3| = | \frac{\sqrt{6}-2}{2} - 3 | = | \frac{\sqrt{6}-2-6}{2} | = | \frac{\sqrt{6}-8}{2} | = \frac{8-\sqrt{6}}{2}$

(6) $\sqrt{x^2+22xy+y^2}$を計算します。

$\sqrt{x^2+22xy+y^2} = \sqrt{(x+y)^2 + 20xy} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + 20(\frac{1}{2})} = \sqrt{6+10} = \sqrt{16} = 4$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = \sqrt{6}$, $xy = \frac{1}{2}$

(2) $x^2+y^2 = 5$

(3) $x^3+y^3 = \frac{9\sqrt{6}}{2}$

(4) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = 10$

(5) $\sqrt{x^2-6x+9} = \frac{8-\sqrt{6}}{2}$

(6) $\sqrt{x^2+22xy+y^2} = 4$