$x \ge 1$ のとき、不等式 $\frac{1}{x^2} \le \frac{1}{x^2-x+1} \le \frac{1}{x}$ を証明せよ。

1. 問題の内容

$x \ge 1$ のとき、不等式 $\frac{1}{x^2} \le \frac{1}{x^2-x+1} \le \frac{1}{x}$ を証明せよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{x^2} \le \frac{1}{x^2-x+1}$ を示す。

$x \ge 1$ のとき、$x^2 \ge x^2 - x + 1$ が成り立つかどうかを調べる。

$x^2 - (x^2 - x + 1) = x - 1$ である。

$x \ge 1$ より、$x - 1 \ge 0$ なので、$x^2 \ge x^2 - x + 1$ は成り立たない。

しかし、分母の大小関係と分数の大小関係は逆になることに注意する。$x^2 > 0$かつ$x^2 - x + 1>0$であるから、$x^2 \ge x^2 - x + 1$は誤りであり、$x^2 - x + 1 \ge 0$より$\frac{1}{x^2} \le \frac{1}{x^2 - x + 1}$ が成り立つ。

次に、$\frac{1}{x^2-x+1} \le \frac{1}{x}$ を示す。

$x^2 - x + 1 \ge x$ が成り立つかどうかを調べる。

$x^2 - x + 1 - x = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$

$x \ge 1$ より、$(x - 1)^2 \ge 0$ であるから、$x^2 - x + 1 \ge x$ が成り立つ。

よって、$\frac{1}{x^2-x+1} \le \frac{1}{x}$ が成り立つ。

したがって、$\frac{1}{x^2} \le \frac{1}{x^2-x+1} \le \frac{1}{x}$ が証明された。

3. 最終的な答え

$x \ge 1$ のとき、$\frac{1}{x^2} \le \frac{1}{x^2-x+1} \le \frac{1}{x}$ が成り立つ。