二項定理を用いて、$(x+2)^5$と$(x-y)^6$を展開する問題です。

1. 問題の内容

二項定理を用いて、$(x+2)^5$と$(x-y)^6$を展開する問題です。

2. 解き方の手順

二項定理は、$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k}b^k$で与えられます。

ここで、${n \choose k}$は二項係数であり、${n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$と計算できます。

まず、$(x+2)^5$を展開します。

$a = x, b = 2, n = 5$として二項定理を適用すると、

$(x+2)^5 = \sum_{k=0}^5 {5 \choose k} x^{5-k} 2^k$

$= {5 \choose 0} x^5 2^0 + {5 \choose 1} x^4 2^1 + {5 \choose 2} x^3 2^2 + {5 \choose 3} x^2 2^3 + {5 \choose 4} x^1 2^4 + {5 \choose 5} x^0 2^5$

$= 1 \cdot x^5 \cdot 1 + 5 \cdot x^4 \cdot 2 + 10 \cdot x^3 \cdot 4 + 10 \cdot x^2 \cdot 8 + 5 \cdot x \cdot 16 + 1 \cdot 1 \cdot 32$

$= x^5 + 10x^4 + 40x^3 + 80x^2 + 80x + 32$

次に、$(x-y)^6$を展開します。

$a = x, b = -y, n = 6$として二項定理を適用すると、

$(x-y)^6 = \sum_{k=0}^6 {6 \choose k} x^{6-k} (-y)^k$

$= {6 \choose 0} x^6 (-y)^0 + {6 \choose 1} x^5 (-y)^1 + {6 \choose 2} x^4 (-y)^2 + {6 \choose 3} x^3 (-y)^3 + {6 \choose 4} x^2 (-y)^4 + {6 \choose 5} x^1 (-y)^5 + {6 \choose 6} x^0 (-y)^6$

$= 1 \cdot x^6 \cdot 1 + 6 \cdot x^5 \cdot (-y) + 15 \cdot x^4 \cdot y^2 + 20 \cdot x^3 \cdot (-y^3) + 15 \cdot x^2 \cdot y^4 + 6 \cdot x \cdot (-y^5) + 1 \cdot 1 \cdot y^6$

$= x^6 - 6x^5y + 15x^4y^2 - 20x^3y^3 + 15x^2y^4 - 6xy^5 + y^6$

3. 最終的な答え

$(x+2)^5 = x^5 + 10x^4 + 40x^3 + 80x^2 + 80x + 32$

$(x-y)^6 = x^6 - 6x^5y + 15x^4y^2 - 20x^3y^3 + 15x^2y^4 - 6xy^5 + y^6$