実数 $x$ に関する方程式 $\sqrt{x-1}-1 = k(x-k)$ が実数解をもたないような負の数 $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $x$ に関する方程式 $\sqrt{x-1}-1 = k(x-k)$ が実数解をもたないような負の数 $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を整理します。

$\sqrt{x-1} = k(x-k) + 1$

両辺を2乗すると

$x-1 = (k(x-k) + 1)^2$

$x-1 = k^2(x-k)^2 + 2k(x-k) + 1$

$x-1 = k^2(x^2 - 2xk + k^2) + 2kx - 2k^2 + 1$

$x-1 = k^2x^2 - 2k^3x + k^4 + 2kx - 2k^2 + 1$

$0 = k^2x^2 + (-2k^3 + 2k - 1)x + k^4 - 2k^2 + 2$

この $x$ に関する2次方程式が実数解を持たない条件を考えます。判別式を $D$ とすると、

$D = (-2k^3 + 2k - 1)^2 - 4k^2(k^4 - 2k^2 + 2) < 0$

$D = 4k^6 - 8k^4 + 4k^2 + 4k^3 - 4k + 1 - 4k^6 + 8k^4 - 8k^2 < 0$

$D = 4k^3 - 4k^2 - 4k + 1 < 0$

$f(k) = 4k^3 - 4k^2 - 4k + 1$ と置くと、$f(-1) = -4 - 4 + 4 + 1 = -3 < 0$、$f(0) = 1 > 0$、$f(1) = 4 - 4 - 4 + 1 = -3 < 0$。また、$f(-0.1) = -0.004 - 0.04 + 0.4 + 1 > 0$。

$k < 0$ の範囲で $f(k) = 0$ となる値を探すと、中間値の定理より $-1 < k < 0$ に解があることがわかります。さらに$k$が負の条件より、$f(k) < 0$となるには、kがある値より小さい範囲です。

$k = -0.85$とすると、$f(-0.85) = 4(-0.85)^3 - 4(-0.85)^2 - 4(-0.85) + 1 = -2.4665 - 2.89 + 3.4 + 1 = -0.9565 < 0$。

$k = -0.9$とすると、$f(-0.9) = 4(-0.9)^3 - 4(-0.9)^2 - 4(-0.9) + 1 = -2.916 - 3.24 + 3.6 + 1 = -1.556 < 0$。

数値計算をすると、$f(k) = 0$の解は約$-0.855$である。

$\sqrt{x-1}$の定義域より、$x \ge 1$。

また、$\sqrt{x-1} - 1 = k(x-k)$ より、$\sqrt{x-1} = k(x-k) + 1$。

この左辺は0以上の値を取るので、$k(x-k) + 1 \ge 0$ でなければならない。

このことを考慮すると、kの範囲はおよそ $-0.855 < k < 0$ と推定できる。

3. 最終的な答え

$-0.855 < k < 0$ (およそ)