2次関数 $y = ax^2 - 2ax + b$ (ただし $a \neq 0$) が $0 \le x \le 3$ の範囲で、最大値9、最小値1をとるときの $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = ax^2 - 2ax + b$ (ただし $a \neq 0$) が $0 \le x \le 3$ の範囲で、最大値9、最小値1をとるときの $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = ax^2 - 2ax + b = a(x^2 - 2x) + b = a(x^2 - 2x + 1 - 1) + b = a(x - 1)^2 - a + b$

したがって、軸は $x = 1$ です。

定義域 $0 \le x \le 3$ の中央は $x = \frac{3}{2} = 1.5$ なので軸は定義域に含まれます。

(i) $a > 0$ のとき

下に凸のグラフなので、軸 $x=1$ で最小値をとり、区間の端点のどちらかで最大値をとります。

$x=1$ で最小値1をとるので、

$-a + b = 1$

$x=0$のとき $y = b$

$x=3$のとき $y = 9a - 6a + b = 3a+b$

$x=0$と$x=3$は軸から同じ距離だけ離れているので、$y$の値も同じです。

$y = ax^2 - 2ax + b$ に $x=0$を代入すると、$y = b$。これが最大値9なので、$b = 9$。

$-a + b = 1$ に $b=9$ を代入すると、$-a + 9 = 1$ となり、$a = 8$。

したがって、$a = 8, b = 9$

(ii) $a < 0$ のとき

上に凸のグラフなので、軸 $x=1$ で最大値をとり、区間の端点のどちらかで最小値をとります。

$x=1$ で最大値9をとるので、

$-a + b = 9$

$x=0$のとき $y = b$

$x=3$のとき $y = 9a - 6a + b = 3a+b$

$y = ax^2 - 2ax + b$ に $x=0$を代入すると、$y = b$。これが最小値1なので、$b = 1$。

$-a + b = 9$ に $b=1$ を代入すると、$-a + 1 = 9$ となり、$a = -8$。

したがって、$a = -8, b = 1$

3. 最終的な答え

$a = 8, b = 9$

または

$a = -8, b = 1$