問題は、xとyが自然数の時、与えられた各方程式を満たす(x, y)の組を全て求めるというものです。 具体的には、以下の8個の方程式に対して解を求めます。 (1) $x+y=4$ (2) $x+4y=12$ (3) $x=6-y$ (4) $x=7-2y$ (5) $3y=10-x$ (6) $\frac{1}{2}x+y=5$ (7) $x=\frac{35-3y}{4}$ (8) $\frac{5}{6}x+\frac{y}{3}=5$

1. 問題の内容

問題は、xとyが自然数の時、与えられた各方程式を満たす(x, y)の組を全て求めるというものです。

具体的には、以下の8個の方程式に対して解を求めます。

(1) $x+y=4$

(2) $x+4y=12$

(3) $x=6-y$

(4) $x=7-2y$

(5) $3y=10-x$

(6) $\frac{1}{2}x+y=5$

(7) $x=\frac{35-3y}{4}$

(8) $\frac{5}{6}x+\frac{y}{3}=5$

2. 解き方の手順

各方程式に対して、yに自然数を代入し、xが自然数となるようなyの値を求めます。そして、求まったxとyの組が解となります。

(1) $x+y=4$

$y=1$ のとき $x=3$

$y=2$ のとき $x=2$

$y=3$ のとき $x=1$

$y \ge 4$ のとき $x \le 0$ となり不適

(2) $x+4y=12$

$y=1$ のとき $x=8$

$y=2$ のとき $x=4$

$y=3$ のとき $x=0$ となり不適

$y \ge 4$ のとき $x<0$ となり不適

(3) $x=6-y$

$y=1$ のとき $x=5$

$y=2$ のとき $x=4$

$y=3$ のとき $x=3$

$y=4$ のとき $x=2$

$y=5$ のとき $x=1$

$y \ge 6$ のとき $x \le 0$ となり不適

(4) $x=7-2y$

$y=1$ のとき $x=5$

$y=2$ のとき $x=3$

$y=3$ のとき $x=1$

$y \ge 4$ のとき $x<0$ となり不適

(5) $3y=10-x$

$x=1$ のとき $3y=9$ なので $y=3$

$x=2$ のとき $3y=8$ なので $y$ は整数にならず不適

$x=3$ のとき $3y=7$ なので $y$ は整数にならず不適

$x=4$ のとき $3y=6$ なので $y=2$

$x=5$ のとき $3y=5$ なので $y$ は整数にならず不適

$x=6$ のとき $3y=4$ なので $y$ は整数にならず不適

$x=7$ のとき $3y=3$ なので $y=1$

$x=8$ のとき $3y=2$ なので $y$ は整数にならず不適

$x=9$ のとき $3y=1$ なので $y$ は整数にならず不適

$x \ge 10$ のとき $y \le 0$ となり不適

(6) $\frac{1}{2}x+y=5$

$x=2(5-y)$より、xは偶数である必要がある。

$y=1$ のとき $x=8$

$y=2$ のとき $x=6$

$y=3$ のとき $x=4$

$y=4$ のとき $x=2$

$y \ge 5$ のとき $x \le 0$ となり不適

(7) $x=\frac{35-3y}{4}$

$x$が整数になるためには、$35-3y$ が4の倍数になる必要があり、$35-3y$は正の数でなければならない。

$y=1$ のとき $x=\frac{32}{4}=8$

$y=5$ のとき $x=\frac{20}{4}=5$

$y=9$ のとき $x=\frac{8}{4}=2$

$y \ge 10$ のとき $x < 0$ となり不適

(8) $\frac{5}{6}x+\frac{y}{3}=5$

両辺に6をかけると $5x+2y=30$

$y=\frac{30-5x}{2}$より、$30-5x$が偶数である必要があるため、$5x$が偶数になる必要がある。

したがって、$x$は偶数である。

$x=2$ のとき $y=\frac{20}{2}=10$

$x=4$ のとき $y=\frac{10}{2}=5$

$x=6$ のとき $y=\frac{0}{2}=0$ となり不適

$x > 6$ のとき $y < 0$となり不適

3. 最終的な答え

(1) (3, 1), (2, 2), (1, 3)

(2) (8, 1), (4, 2)

(3) (5, 1), (4, 2), (3, 3), (2, 4), (1, 5)

(4) (5, 1), (3, 2), (1, 3)

(5) (1, 3), (4, 2), (7, 1)

(6) (8, 1), (6, 2), (4, 3), (2, 4)

(7) (8, 1), (5, 5), (2, 9)

(8) (2, 10), (4, 5)