与えられた複素数の計算を行い、$a+bi$ の形で表す。具体的には、以下の4つの問題を解く。 (1) $\sqrt{-98} - \sqrt{-72} + \sqrt{-50}$ (2) $(5-2i)^2$ (3) $\frac{2+i}{2-i} + \frac{2-i}{2+i}$ (4) $\frac{(2-i)^2}{2+3i}$

1. 問題の内容

与えられた複素数の計算を行い、$a+bi$ の形で表す。具体的には、以下の4つの問題を解く。

(1) $\sqrt{-98} - \sqrt{-72} + \sqrt{-50}$

(2) $(5-2i)^2$

(3) $\frac{2+i}{2-i} + \frac{2-i}{2+i}$

(4) $\frac{(2-i)^2}{2+3i}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{-98} - \sqrt{-72} + \sqrt{-50}$

まず、各項を簡略化する。

$\sqrt{-98} = \sqrt{98}i = \sqrt{49 \cdot 2}i = 7\sqrt{2}i$

$\sqrt{-72} = \sqrt{72}i = \sqrt{36 \cdot 2}i = 6\sqrt{2}i$

$\sqrt{-50} = \sqrt{50}i = \sqrt{25 \cdot 2}i = 5\sqrt{2}i$

したがって、

$7\sqrt{2}i - 6\sqrt{2}i + 5\sqrt{2}i = (7-6+5)\sqrt{2}i = 6\sqrt{2}i$

(2) $(5-2i)^2$

$(5-2i)^2 = 5^2 - 2(5)(2i) + (2i)^2 = 25 - 20i + 4i^2 = 25 - 20i - 4 = 21 - 20i$

(3) $\frac{2+i}{2-i} + \frac{2-i}{2+i}$

各分数を有理化する。

$\frac{2+i}{2-i} = \frac{(2+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{4 + 4i + i^2}{4 - i^2} = \frac{4 + 4i - 1}{4 + 1} = \frac{3 + 4i}{5}$

$\frac{2-i}{2+i} = \frac{(2-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{4 - 4i + i^2}{4 - i^2} = \frac{4 - 4i - 1}{4 + 1} = \frac{3 - 4i}{5}$

したがって、

$\frac{3 + 4i}{5} + \frac{3 - 4i}{5} = \frac{3 + 4i + 3 - 4i}{5} = \frac{6}{5}$

(4) $\frac{(2-i)^2}{2+3i}$

まず、分子を計算する。

$(2-i)^2 = 4 - 4i + i^2 = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i$

次に、分数を有理化する。

$\frac{3-4i}{2+3i} = \frac{(3-4i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)} = \frac{6 - 9i - 8i + 12i^2}{4 - 9i^2} = \frac{6 - 17i - 12}{4 + 9} = \frac{-6 - 17i}{13} = -\frac{6}{13} - \frac{17}{13}i$

3. 最終的な答え

(1) $0 + 6\sqrt{2}i$

(2) $21 - 20i$

(3) $\frac{6}{5} + 0i$

(4) $-\frac{6}{13} - \frac{17}{13}i$