行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 3 & 7 & 6 & 6 \\ 2 & 5 & 5 & 2 \\ 4 & 10 & 10 & 4 \end{bmatrix}$ を行基本変形によって階段行列 $B$ に変形し、$B$ を選択肢の中から選びます。また、行列 $A$ の階数を求めます。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 3 & 7 & 6 & 6 \\ 2 & 5 & 5 & 2 \\ 4 & 10 & 10 & 4 \end{bmatrix}$ を行基本変形によって階段行列 $B$ に変形し、$B$ を選択肢の中から選びます。また、行列 $A$ の階数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ を行基本変形によって階段行列にします。

まず、2行目から1行目の3倍を引き、3行目から1行目の2倍を引き、4行目から1行目の4倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 3 & 7 & 6 & 6 \\ 2 & 5 & 5 & 2 \\ 4 & 10 & 10 & 4 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 3 & -6 \\ 0 & 1 & 3 & -6 \\ 0 & 2 & 6 & -12 \end{bmatrix}$

次に、3行目から2行目を引き、4行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 3 & -6 \\ 0 & 1 & 3 & -6 \\ 0 & 2 & 6 & -12 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

最後に、1行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 & 16 \\ 0 & 1 & 3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

階段行列 $B$ は $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 & 16 \\ 0 & 1 & 3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ となります。

(2) 行列 $A$ の階数は、階段行列 $B$ の0でない行の数に等しいです。$B$ の0でない行は2行なので、$A$ の階数は2です。

3. 最終的な答え

(1)

1. (2)

4.