この問題は、絶対値を含む方程式と不等式を解く問題です。具体的には以下の3つの方程式と不等式を解きます。 (1) $|x-3| = 2x$ (2) $|x-4| \le 2x+1$ (3) $|x+1| > 5x$

1. 問題の内容

この問題は、絶対値を含む方程式と不等式を解く問題です。具体的には以下の3つの方程式と不等式を解きます。

(1) $|x-3| = 2x$

(2) $|x-4| \le 2x+1$

(3) $|x+1| > 5x$

2. 解き方の手順

(1) $|x-3| = 2x$

絶対値の定義より、$x-3 \ge 0$ のとき、$x-3 = 2x$ となり、$x-3 < 0$ のとき、$-(x-3) = 2x$ となります。

$x-3=2x$ のとき、$x = -3$ となります。しかし、$x-3 \ge 0$、つまり $x \ge 3$ である必要があるので、この解は不適です。

$-(x-3) = 2x$ のとき、$-x+3 = 2x$ となり、$3x = 3$ より、$x = 1$ となります。このとき、$x-3 < 0$、つまり $x < 3$ を満たすので、この解は適しています。

(2) $|x-4| \le 2x+1$

絶対値の定義より、$x-4 \ge 0$ のとき、$x-4 \le 2x+1$ となり、$x-4 < 0$ のとき、$-(x-4) \le 2x+1$ となります。

$x-4 \le 2x+1$ のとき、$x \ge -5$ となります。このとき、$x \ge 4$ が必要なので、$x \ge 4$ となります。

$-(x-4) \le 2x+1$ のとき、$-x+4 \le 2x+1$ となり、$3x \ge 3$ より、$x \ge 1$ となります。このとき、$x < 4$ が必要なので、$1 \le x < 4$ となります。

したがって、$x \ge 4$ または $1 \le x < 4$ となり、$x \ge 1$ が解となります。

(3) $|x+1| > 5x$

絶対値の定義より、$x+1 \ge 0$ のとき、$x+1 > 5x$ となり、$x+1 < 0$ のとき、$-(x+1) > 5x$ となります。

$x+1 > 5x$ のとき、$4x < 1$ より、$x < \frac{1}{4}$ となります。このとき、$x \ge -1$ が必要なので、$-1 \le x < \frac{1}{4}$ となります。

$-(x+1) > 5x$ のとき、$-x-1 > 5x$ となり、$6x < -1$ より、$x < -\frac{1}{6}$ となります。このとき、$x < -1$ が必要なので、$x < -1$ となります。

したがって、$x < \frac{1}{4}$ が解となります。

3. 最終的な答え

(1) $x = 1$

(2) $x \ge 1$

(3) $x < \frac{1}{4}$