2次関数 $f(x) = x^2 + ax + b$ のグラフがx軸と異なる2点 $(t-1, 0)$ と $(t+1, 0)$ で交わるとき、以下の問いに答えます。 (1) $a$ と $b$ をそれぞれ $t$ を用いて表します。 (2) $1 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最小値を $m(t)$ とするとき、$m(t)$ を求め、 $y=m(t)$ のグラフを描きます。 (3) (2)で求めた $m(t)$ を用いて、すべての実数 $t$ に対して不等式 $m(t) > t + k$ が成り立つような実数定数 $k$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 + ax + b$ のグラフがx軸と異なる2点 $(t-1, 0)$ と $(t+1, 0)$ で交わるとき、以下の問いに答えます。

(1) $a$ と $b$ をそれぞれ $t$ を用いて表します。

(2) $1 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最小値を $m(t)$ とするとき、$m(t)$ を求め、 $y=m(t)$ のグラフを描きます。

(3) (2)で求めた $m(t)$ を用いて、すべての実数 $t$ に対して不等式 $m(t) > t + k$ が成り立つような実数定数 $k$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^2 + ax + b$ のグラフが $(t-1, 0)$ と $(t+1, 0)$ を通ることから、

$f(t-1) = (t-1)^2 + a(t-1) + b = 0$

$f(t+1) = (t+1)^2 + a(t+1) + b = 0$

この2式から $a$ と $b$ を $t$ で表します。

$f(t+1) - f(t-1) = (t+1)^2 - (t-1)^2 + a(t+1) - a(t-1) = 0$

$4t + 2a = 0$

$a = -2t$

$f(t-1) = (t-1)^2 -2t(t-1) + b = 0$

$t^2 - 2t + 1 - 2t^2 + 2t + b = 0$

$-t^2 + 1 + b = 0$

$b = t^2 - 1$

(2) $f(x) = x^2 - 2tx + t^2 - 1 = (x-t)^2 - 1$

軸は $x = t$ です。

$1 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最小値 $m(t)$ を考えます。

(i) $t < 1$ のとき、$f(x)$ は区間で単調減少なので、$x=1$ で最小値をとります。

$m(t) = f(1) = (1-t)^2 - 1 = t^2 - 2t$

(ii) $1 \le t \le 2$ のとき、$x=t$ で最小値をとります。

$m(t) = f(t) = -1$

(iii) $t > 2$ のとき、$f(x)$ は区間で単調増加なので、$x=2$ で最小値をとります。

$m(t) = f(2) = (2-t)^2 - 1 = t^2 - 4t + 3$

よって、

$m(t) = \begin{cases}

t^2 - 2t & (t < 1) \\

-1 & (1 \le t \le 2) \\

t^2 - 4t + 3 & (t > 2)

\end{cases}$

$y = m(t)$ のグラフは、上記の3つの場合に分けて描きます。

(3) $m(t) > t + k$ がすべての $t$ で成り立つための $k$ の範囲を求めます。

(i) $t < 1$ のとき、$t^2 - 2t > t + k$、つまり $t^2 - 3t - k > 0$

判別式 $D = (-3)^2 - 4(-k) = 9 + 4k < 0$ より、$k > -9/4$

この条件を満たすすべての $t$ に対して $t^2 - 3t - k > 0$ が成り立つ必要があります。

$g(t) = t^2 - 3t - k$ とすると、$g(1) = 1 - 3 - k = -2 - k > 0$ より $k < -2$

(ii) $1 \le t \le 2$ のとき、$-1 > t + k$、つまり $k < -t - 1$

$-t - 1$ は $1 \le t \le 2$ で減少するので、 $k < -2 - 1 = -3$

(iii) $t > 2$ のとき、$t^2 - 4t + 3 > t + k$、つまり $t^2 - 5t + 3 - k > 0$

判別式 $D = (-5)^2 - 4(3 - k) = 25 - 12 + 4k = 13 + 4k < 0$ より $k < -13/4$

$h(t) = t^2 - 5t + 3 - k$ とすると、$t > 2$ で $h(t) > 0$ が成り立つ必要があり、$t = 2$ で $h(2) = 4 - 10 + 3 - k = -3 - k > 0$ より $k < -3$

以上より、$k < -3$

3. 最終的な答え

(1) $a = -2t$, $b = t^2 - 1$

(2) $m(t) = \begin{cases}

t^2 - 2t & (t < 1) \\

-1 & (1 \le t \le 2) \\

t^2 - 4t + 3 & (t > 2)

\end{cases}$

(3) $k < -3$