与えられた2次関数のグラフの頂点の座標と軸の方程式を求める。ここでは、例として (1) $y = x^2 + 2x - 2$、(2) $y = -x^2 + 2x + 4$、(3) $y = -2x^2 - 8x - 5$ について解く。

1. 問題の内容

与えられた2次関数のグラフの頂点の座標と軸の方程式を求める。ここでは、例として (1) $y = x^2 + 2x - 2$、(2) $y = -x^2 + 2x + 4$、(3) $y = -2x^2 - 8x - 5$ について解く。

2. 解き方の手順

2次関数の式を平方完成の形に変形する。一般形 $y = ax^2 + bx + c$ を $y = a(x - p)^2 + q$ の形に変形することで、頂点の座標 $(p, q)$ と軸の方程式 $x = p$ がわかる。

(1) $y = x^2 + 2x - 2$ の場合:

$y = (x^2 + 2x) - 2$

$y = (x^2 + 2x + 1 - 1) - 2$

$y = (x + 1)^2 - 1 - 2$

$y = (x + 1)^2 - 3$

よって、頂点の座標は $(-1, -3)$、軸の方程式は $x = -1$。

(2) $y = -x^2 + 2x + 4$ の場合:

$y = -(x^2 - 2x) + 4$

$y = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 4$

$y = -(x - 1)^2 + 1 + 4$

$y = -(x - 1)^2 + 5$

よって、頂点の座標は $(1, 5)$、軸の方程式は $x = 1$。

(3) $y = -2x^2 - 8x - 5$ の場合:

$y = -2(x^2 + 4x) - 5$

$y = -2(x^2 + 4x + 4 - 4) - 5$

$y = -2(x + 2)^2 + 8 - 5$

$y = -2(x + 2)^2 + 3$

よって、頂点の座標は $(-2, 3)$、軸の方程式は $x = -2$。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(-1, -3)$、軸の方程式: $x = -1$

(2) 頂点の座標: $(1, 5)$、軸の方程式: $x = 1$

(3) 頂点の座標: $(-2, 3)$、軸の方程式: $x = -2$