次の式を因数分解せよ。 (1) $x^4 + x^2 + 1 + 2xy - y^2$ (2) $a^5 - a^3b^2 + a^2b^3 - b^5$ (3) $(x-y)^3 + (z-y)^3 - (x - 2y + z)^3$

はい、承知いたしました。問題の指示に従い、以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

次の式を因数分解せよ。

(1) $x^4 + x^2 + 1 + 2xy - y^2$

(2) $a^5 - a^3b^2 + a^2b^3 - b^5$

(3) $(x-y)^3 + (z-y)^3 - (x - 2y + z)^3$

2. 解き方の手順

(1)

$x^4+x^2+1+2xy-y^2$ を因数分解する。

まず、$x^4 + x^2 + 1$ の部分に着目する。これは $x^4 + 2x^2 + 1 - x^2$ と変形できる。

したがって、

$x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$

次に、与式全体を考えると、

$x^4 + x^2 + 1 + 2xy - y^2 = (x^2+x+1)(x^2-x+1) + 2xy - y^2$

ここで、与式は $(x^2+x+1)(x^2-x+1) + 2xy - y^2$ となっているが、うまく因数分解できないため、別の方法を試す。

$x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2 - x^2$と変形し、

$x^4 + x^2 + 1 + 2xy - y^2 = (x^2+1)^2 - (x^2 - 2xy + y^2) = (x^2+1)^2 - (x-y)^2$

これは平方の差なので、

$(x^2+1+x-y)(x^2+1-x+y) = (x^2+x-y+1)(x^2-x+y+1)$

(2)

$a^5 - a^3b^2 + a^2b^3 - b^5$ を因数分解する。

式を整理すると、

$a^5 - a^3b^2 + a^2b^3 - b^5 = a^3(a^2-b^2) + b^3(a^2 - b^2)$

$(a^3-b^3)(a^2 - b^2) = (a^2 + b^3) + b^3(a^2 - b^2) = (a^3 - b^2)(a^2 - b^2) = (a-b)(a^2+ab+b^2)(a-b)(a+b)$

$(a^3 - b^3) + a^2 b^3 - b^5 = (a-b)(a^2+ab+b^2)(a+b)(a-b) = (a-b)^2(a+b)(a^2+ab+b^2)$

$(a^3-b^3)(a^2-b^2)$ではない。

$a^5 - a^3b^2 + a^2b^3 - b^5 = a^3(a^2-b^2) + b^3(a^2-b^2)$ でもない。

$a^5 - b^5 - a^3b^2 + a^2b^3 = (a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4) - a^2b^2(a-b) = (a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4 - a^2b^2) = (a-b)(a^4+a^3b+ab^3+b^4)$

(3)

$(x-y)^3+(z-y)^3-(x - 2y + z)^3$ を因数分解する。

$A = x-y$, $B = z-y$, $C = x-2y+z$ とおく。

$C = (x-y) + (z-y) = A+B$

$A^3+B^3-C^3 = A^3+B^3-(A+B)^3 = A^3+B^3-(A^3+3A^2B+3AB^2+B^3) = -3A^2B - 3AB^2 = -3AB(A+B) = -3(x-y)(z-y)(x-2y+z)$

3. 最終的な答え

(1) $(x^2+x-y+1)(x^2-x+y+1)$

(2) $(a-b)(a^4+a^3b+ab^3+b^4)$

(3) $-3(x-y)(z-y)(x-2y+z)$