次の2次関数のグラフの頂点の座標と軸の方程式を求めよ。 (1) $y = x^2 + 2x - 2$ (2) $y = -x^2 + 2x + 4$ (3) $y = -2x^2 - 8x - 5$ (4) $y = 2x^2 + 6x + 6$ (5) $y = 2x^2 - 3x + 1$ (6) $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x$ (7) $y = x^2 - 2x + 3$ (8) $y = -x^2 + 8x - 15$ (9) $y = 2x^2 - 8x + 3$ (10) $y = 2x^2 + 6x + 5$ (11) $y = -2x^2 - 12x - 10$ (12) $y = -x^2 + 5x - 4$

はい、承知いたしました。問題文に書かれている二次関数のグラフの頂点の座標と軸の方程式を求めます。

12個の問題全てを解きます。

1. 問題の内容

次の2次関数のグラフの頂点の座標と軸の方程式を求めよ。

(1) $y = x^2 + 2x - 2$

(2) $y = -x^2 + 2x + 4$

(3) $y = -2x^2 - 8x - 5$

(4) $y = 2x^2 + 6x + 6$

(5) $y = 2x^2 - 3x + 1$

(6) $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x$

(7) $y = x^2 - 2x + 3$

(8) $y = -x^2 + 8x - 15$

(9) $y = 2x^2 - 8x + 3$

(10) $y = 2x^2 + 6x + 5$

(11) $y = -2x^2 - 12x - 10$

(12) $y = -x^2 + 5x - 4$

2. 解き方の手順

各2次関数を平方完成の形に変形し、$y = a(x - p)^2 + q$の形にします。

頂点の座標は$(p, q)$、軸の方程式は$x = p$となります。

(1) $y = x^2 + 2x - 2$

$y = (x^2 + 2x + 1) - 1 - 2$

$y = (x + 1)^2 - 3$

(2) $y = -x^2 + 2x + 4$

$y = -(x^2 - 2x) + 4$

$y = -(x^2 - 2x + 1) + 1 + 4$

$y = -(x - 1)^2 + 5$

(3) $y = -2x^2 - 8x - 5$

$y = -2(x^2 + 4x) - 5$

$y = -2(x^2 + 4x + 4) + 8 - 5$

$y = -2(x + 2)^2 + 3$

(4) $y = 2x^2 + 6x + 6$

$y = 2(x^2 + 3x) + 6$

$y = 2(x^2 + 3x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{2} + 6$

$y = 2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{2}$

(5) $y = 2x^2 - 3x + 1$

$y = 2(x^2 - \frac{3}{2}x) + 1$

$y = 2(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16}) - \frac{9}{8} + 1$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{1}{8}$

(6) $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x$

$y = \frac{1}{2}(x^2 - 4x)$

$y = \frac{1}{2}(x^2 - 4x + 4) - 2$

$y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 - 2$

(7) $y = x^2 - 2x + 3$

$y = (x^2 - 2x + 1) - 1 + 3$

$y = (x - 1)^2 + 2$

(8) $y = -x^2 + 8x - 15$

$y = -(x^2 - 8x) - 15$

$y = -(x^2 - 8x + 16) + 16 - 15$

$y = -(x - 4)^2 + 1$

(9) $y = 2x^2 - 8x + 3$

$y = 2(x^2 - 4x) + 3$

$y = 2(x^2 - 4x + 4) - 8 + 3$

$y = 2(x - 2)^2 - 5$

(10) $y = 2x^2 + 6x + 5$

$y = 2(x^2 + 3x) + 5$

$y = 2(x^2 + 3x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{2} + 5$

$y = 2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{1}{2}$

(11) $y = -2x^2 - 12x - 10$

$y = -2(x^2 + 6x) - 10$

$y = -2(x^2 + 6x + 9) + 18 - 10$

$y = -2(x + 3)^2 + 8$

(12) $y = -x^2 + 5x - 4$

$y = -(x^2 - 5x) - 4$

$y = -(x^2 - 5x + \frac{25}{4}) + \frac{25}{4} - 4$

$y = -(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{9}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(-1, -3)$, 軸の方程式: $x = -1$

(2) 頂点の座標: $(1, 5)$, 軸の方程式: $x = 1$

(3) 頂点の座標: $(-2, 3)$, 軸の方程式: $x = -2$

(4) 頂点の座標: $(-\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$, 軸の方程式: $x = -\frac{3}{2}$

(5) 頂点の座標: $(\frac{3}{4}, -\frac{1}{8})$, 軸の方程式: $x = \frac{3}{4}$

(6) 頂点の座標: $(2, -2)$, 軸の方程式: $x = 2$

(7) 頂点の座標: $(1, 2)$, 軸の方程式: $x = 1$

(8) 頂点の座標: $(4, 1)$, 軸の方程式: $x = 4$

(9) 頂点の座標: $(2, -5)$, 軸の方程式: $x = 2$

(10) 頂点の座標: $(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$, 軸の方程式: $x = -\frac{3}{2}$

(11) 頂点の座標: $(-3, 8)$, 軸の方程式: $x = -3$

(12) 頂点の座標: $(\frac{5}{2}, \frac{9}{4})$, 軸の方程式: $x = \frac{5}{2}$