次の連立不等式を解きます。 $\begin{cases} (2-\sqrt{5})x < 1 \\ (\sqrt{5}-1)x < 0 \end{cases}$

1. 問題の内容

次の連立不等式を解きます。

$\begin{cases} (2-\sqrt{5})x < 1 \\ (\sqrt{5}-1)x < 0 \end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、$2-\sqrt{5}$ の符号を調べます。$\sqrt{5}$ は2より大きいので、$2-\sqrt{5} < 0$ となります。

同様に、$\sqrt{5}-1$ の符号を調べると、$\sqrt{5}$ は1より大きいので、$\sqrt{5}-1 > 0$ となります。

次に、それぞれの不等式を解きます。

一つ目の不等式 $(2-\sqrt{5})x < 1$ は、$2-\sqrt{5} < 0$ であるため、両辺を $2-\sqrt{5}$ で割ると、不等号の向きが反転し、

$x > \frac{1}{2-\sqrt{5}}$

となります。分母を有理化すると、

$x > \frac{2+\sqrt{5}}{(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})} = \frac{2+\sqrt{5}}{4-5} = \frac{2+\sqrt{5}}{-1} = -2-\sqrt{5}$

となります。

二つ目の不等式 $(\sqrt{5}-1)x < 0$ は、$\sqrt{5}-1 > 0$ であるため、両辺を $\sqrt{5}-1$ で割ると、不等号の向きは変わらず、

$x < 0$

となります。

したがって、連立不等式の解は、

$\begin{cases} x > -2-\sqrt{5} \\ x < 0 \end{cases}$

より、

$-2-\sqrt{5} < x < 0$

となります。

3. 最終的な答え

$-2-\sqrt{5} < x < 0$