自然数 $n$ に対して、$A^n = 0$ を満たす正則行列 $A$ が存在しないことを示す問題です。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、$A^n = 0$ を満たす正則行列 $A$ が存在しないことを示す問題です。

2. 解き方の手順

正則行列 $A$ は、逆行列 $A^{-1}$ を持ちます。つまり、$AA^{-1} = A^{-1}A = I$（$I$ は単位行列）が成り立ちます。

もし $A^n = 0$ となる正則行列 $A$ が存在すると仮定すると、$A^n = 0$ の両辺に $A^{-1}$ を $n$ 回かけることができます。

$$A^n (A^{-1})^n = 0 (A^{-1})^n$$

$$A^n (A^{-1})^n = A A A ... A (A^{-1} A^{-1} A^{-1} ... A^{-1}) = (A A^{-1}) (A A^{-1}) ... (A A^{-1}) = I I ... I = I$$

一方、$0$ に何をかけても $0$ であるから、

$$0 (A^{-1})^n = 0$$

したがって、$I = 0$ ということになります。

しかし、単位行列 $I$ は $0$ 行列ではありません。これは矛盾です。

よって、$A^n = 0$ を満たす正則行列 $A$ は存在しません。

3. 最終的な答え

自然数 $n$ に対して、$A^n = 0$ を満たす正則行列 $A$ は存在しない。