問題は、練習39の(1)から(4)の分母を有理化することです。 (1) $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ (2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ (3) $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}+1}$ (4) $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$

1. 問題の内容

問題は、練習39の(1)から(4)の分母を有理化することです。

(1) $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

(3) $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}+1}$

(4) $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

分母の有理化は、分母に根号が含まれないように変形することです。

(1) $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ の場合、分母の共役な式である $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ を分子と分母に掛けます。

(2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ の場合、分母の共役な式である $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ を分子と分母に掛けます。

(3) $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}+1}$ の場合、分母の共役な式である $\sqrt{5}-1$ を分子と分母に掛けます。

(4) $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ の場合、分母の共役な式である $\sqrt{5}+\sqrt{2}$ を分子と分母に掛けます。

(1)

$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$

(2)

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{5-3} = \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2}$

(3)

$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt5+1} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}+1} \times \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{2\sqrt{15}-2\sqrt{3}}{5-1} = \frac{2\sqrt{15}-2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}$

(4)

$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{(\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{5-2} = \frac{5 + 2\sqrt{10} + 2}{3} = \frac{7+2\sqrt{10}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3}-\sqrt{2}$

(2) $\frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2}$

(3) $\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}$

(4) $\frac{7+2\sqrt{10}}{3}$