与えられた8つの式を展開する問題です。展開する式は、3乗の式や、(a+b)(a^2-ab+b^2)の形など様々なパターンがあります。

1. 問題の内容

与えられた8つの式を展開する問題です。展開する式は、3乗の式や、(a+b)(a^2-ab+b^2)の形など様々なパターンがあります。

2. 解き方の手順

(1) $(a-2)^3$

$(a-2)^3 = a^3 - 3a^2(2) + 3a(2^2) - 2^3 = a^3 - 6a^2 + 12a - 8$

(2) $(3x+1)^3$

$(3x+1)^3 = (3x)^3 + 3(3x)^2(1) + 3(3x)(1^2) + 1^3 = 27x^3 + 27x^2 + 9x + 1$

(3) $(2x+3y)^3$

$(2x+3y)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2(3y) + 3(2x)(3y)^2 + (3y)^3 = 8x^3 + 36x^2y + 54xy^2 + 27y^3$

(4) $(4a-3b)^3$

$(4a-3b)^3 = (4a)^3 - 3(4a)^2(3b) + 3(4a)(3b)^2 - (3b)^3 = 64a^3 - 144a^2b + 108ab^2 - 27b^3$

(5) $(x+3)(x^2-3x+9)$

これは $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ の公式を利用できます。$a = x, b = 3$ とすると、

$(x+3)(x^2-3x+9) = x^3 + 3^3 = x^3 + 27$

(6) $(a-1)(a^2+a+1)$

これは $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ の公式を利用できます。$a = a, b = 1$ とすると、

$(a-1)(a^2+a+1) = a^3 - 1^3 = a^3 - 1$

(7) $(2a+b)(4a^2-2ab+b^2)$

これは $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ の公式を利用できます。$a = 2a, b = b$ とすると、

$(2a+b)(4a^2-2ab+b^2) = (2a)^3 + b^3 = 8a^3 + b^3$

(8) $(3x-5y)(9x^2+15xy+25y^2)$

これは $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ の公式を利用できます。$a = 3x, b = 5y$ とすると、

$(3x-5y)(9x^2+15xy+25y^2) = (3x)^3 - (5y)^3 = 27x^3 - 125y^3$

3. 最終的な答え

(1) $a^3 - 6a^2 + 12a - 8$

(2) $27x^3 + 27x^2 + 9x + 1$

(3) $8x^3 + 36x^2y + 54xy^2 + 27y^3$

(4) $64a^3 - 144a^2b + 108ab^2 - 27b^3$

(5) $x^3 + 27$

(6) $a^3 - 1$

(7) $8a^3 + b^3$

(8) $27x^3 - 125y^3$