(1) $(2x-3y)^7$ の展開式における $x^5y^2$ の係数を求める。 (2) $(2x^3-3x)^5$ の展開式における $x^9$ の係数を求める。

1. 問題の内容

(1) $(2x-3y)^7$ の展開式における $x^5y^2$ の係数を求める。

(2) $(2x^3-3x)^5$ の展開式における $x^9$ の係数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 二項定理を用いる。$(2x-3y)^7$ の展開式における一般項は

$${}_7 C_k (2x)^{7-k} (-3y)^k$$

ここで、$x^5y^2$ の項を求めるので、$k=2$ である。よって、求める係数は

$${}_7 C_2 (2)^5 (-3)^2 = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} \cdot 32 \cdot 9 = 21 \cdot 32 \cdot 9 = 6048$$

(2) 二項定理を用いる。$(2x^3-3x)^5$ の展開式における一般項は

$${}_5 C_k (2x^3)^{5-k} (-3x)^k = {}_5 C_k 2^{5-k} (-3)^k x^{3(5-k)+k} = {}_5 C_k 2^{5-k} (-3)^k x^{15-2k}$$

ここで、$x^9$ の項を求めるので、$15-2k = 9$ となる $k$ を探す。

$2k = 15-9 = 6$ より、$k=3$ である。よって、求める係数は

$${}_5 C_3 2^{5-3} (-3)^3 = {}_5 C_3 2^2 (-27) = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot 4 \cdot (-27) = 10 \cdot 4 \cdot (-27) = -1080$$

3. 最終的な答え

(1) $x^5y^2$ の係数は $6048$

(2) $x^9$ の係数は $-1080$