複素数 $\alpha$ に対して、$z = \alpha + \frac{1}{\alpha}$ が実数であることを示す。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha$ に対して、$z = \alpha + \frac{1}{\alpha}$ が実数であることを示す。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ が実数であることは、$z = \overline{z}$ が成り立つことと同値である。したがって、$z = \alpha + \frac{1}{\alpha}$ に対して、$\overline{z} = \overline{\alpha + \frac{1}{\alpha}}$ を計算し、$z = \overline{z}$ となることを示す。

まず、複素数の共役の性質より、

$\overline{\alpha + \frac{1}{\alpha}} = \overline{\alpha} + \overline{\frac{1}{\alpha}}$

となる。さらに、$\overline{\frac{1}{\alpha}} = \frac{1}{\overline{\alpha}}$ であるから、

$\overline{z} = \overline{\alpha} + \frac{1}{\overline{\alpha}}$

となる。

$z = \overline{z}$ であるとき、

$\alpha + \frac{1}{\alpha} = \overline{\alpha} + \frac{1}{\overline{\alpha}}$

が成り立つ。両辺に $\alpha \overline{\alpha}$ をかけると、

$\alpha \overline{\alpha} \left(\alpha + \frac{1}{\alpha}\right) = \alpha \overline{\alpha} \left(\overline{\alpha} + \frac{1}{\overline{\alpha}}\right)$

$\alpha^2 \overline{\alpha} + \overline{\alpha} = \alpha \overline{\alpha}^2 + \alpha$

$\alpha^2 \overline{\alpha} - \alpha \overline{\alpha}^2 - (\alpha - \overline{\alpha}) = 0$

$\alpha \overline{\alpha}(\alpha - \overline{\alpha}) - (\alpha - \overline{\alpha}) = 0$

$(\alpha \overline{\alpha} - 1)(\alpha - \overline{\alpha}) = 0$

したがって、$\alpha \overline{\alpha} = 1$ または $\alpha = \overline{\alpha}$ が成り立つ。

$\alpha \overline{\alpha} = |\alpha|^2$ であるから、$\alpha \overline{\alpha} = 1$ は $|\alpha|^2 = 1$、つまり $|\alpha| = 1$ を意味する。

$\alpha = \overline{\alpha}$ は $\alpha$ が実数であることを意味する。

したがって、$|\alpha| = 1$ または $\alpha$ が実数であれば、$z = \alpha + \frac{1}{\alpha}$ は実数となる。問題文からは追加の情報がないので、 $|\alpha| = 1$ または $\alpha$ が実数という条件があるはずである。

ここでは、$|\alpha| = 1$ であると仮定する。

$|\alpha| = 1$ のとき、$\alpha = e^{i\theta}$ と表せる。

このとき、$\overline{\alpha} = e^{-i\theta}$ であり、$\frac{1}{\alpha} = \frac{\overline{\alpha}}{\alpha \overline{\alpha}} = \overline{\alpha}$ となる。

したがって、$z = \alpha + \frac{1}{\alpha} = \alpha + \overline{\alpha} = e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2\cos\theta$ となり、これは実数である。

3. 最終的な答え

$z = \alpha + \frac{1}{\alpha}$ は実数である。 $|\alpha| = 1$ の場合、$z = 2\cos\theta$ となり実数である。 また、$\alpha$が実数の場合も、$z$は明らかに実数である。