原点を通る直線 $l$ があり、$p$ は点 $v$ から直線 $l$ に下ろした垂線の足への射影、$ρ$ は点 $v$ の直線 $l$ に関する線対称な点への射影を表す線形写像である。これらの行列表示が与えられている。 (1) $pp$ および $ρρ$ を計算し、その図形的な意味を考察する。 (2) (1) の結果から、$pr = rp = E$ を満たす行列 $r$ が存在しないことを示す。 (3) $p^2$ および $ρ^2$ を計算し、その図形的な意味を考察する。 (4) $ρ^2 + 2ρ + E$ を二通りの方法で計算し、その図形的な意味を考察する。

1. 問題の内容

原点を通る直線 $l$ があり、$p$ は点 $v$ から直線 $l$ に下ろした垂線の足への射影、$ρ$ は点 $v$ の直線 $l$ に関する線対称な点への射影を表す線形写像である。これらの行列表示が与えられている。

(1) $pp$ および $ρρ$ を計算し、その図形的な意味を考察する。

(2) (1) の結果から、$pr = rp = E$ を満たす行列 $r$ が存在しないことを示す。

(3) $p^2$ および $ρ^2$ を計算し、その図形的な意味を考察する。

(4) $ρ^2 + 2ρ + E$ を二通りの方法で計算し、その図形的な意味を考察する。

2. 解き方の手順

(1) $pp$ および $ρρ$ を計算する。

行列の積を計算する。

求まった行列が表す変換を図形的に考察する。

(2) (1) の結果を利用して、$pr=rp=E$ となる $r$ が存在しないことを証明する。

(3) $p^2$ および $ρ^2$ を計算する。

行列の積を計算する。

求まった行列が表す変換を図形的に考察する。

(4) $ρ^2 + 2ρ + E$ を二通りの方法で計算する。一つは直接代入して計算し、もう一つは問題文に与えられている $ρ$ の行列表示を用いて計算する。

3. 最終的な答え

(1)

$p = \begin{pmatrix} \cos^2 \alpha & \sin \alpha \cos \alpha \\ \cos \alpha \sin \alpha & \sin^2 \alpha \end{pmatrix}$

$ρ = \begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix}$

$pp = \begin{pmatrix} \cos^2 \alpha & \sin \alpha \cos \alpha \\ \cos \alpha \sin \alpha & \sin^2 \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \cos^2 \alpha & \sin \alpha \cos \alpha \\ \cos \alpha \sin \alpha & \sin^2 \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha & \cos^3 \alpha \sin \alpha + \sin^3 \alpha \cos \alpha \\ \cos^3 \alpha \sin \alpha + \sin^3 \alpha \cos \alpha & \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \sin^4 \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos^2 \alpha(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) & \sin \alpha \cos \alpha(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) \\ \sin \alpha \cos \alpha(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) & \sin^2 \alpha(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos^2 \alpha & \sin \alpha \cos \alpha \\ \sin \alpha \cos \alpha & \sin^2 \alpha \end{pmatrix} = p$

$ρρ = \begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos^2 2\alpha + \sin^2 2\alpha & \cos 2\alpha \sin 2\alpha - \sin 2\alpha \cos 2\alpha \\ \cos 2\alpha \sin 2\alpha - \sin 2\alpha \cos 2\alpha & \sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E$

$pp = p$ より、一度直線 $l$ へ射影された点は、もう一度射影されても同じ点である。

$ρρ = E$ より、2回直線 $l$ に関して線対称な点をとると元の点に戻る。

(2)

$pp = p$ であるから、$pr = p$ となる $r$ が存在するならば、$p = E$ となるはずである。

しかし、$p = \begin{pmatrix} \cos^2 \alpha & \sin \alpha \cos \alpha \\ \cos \alpha \sin \alpha & \sin^2 \alpha \end{pmatrix}$ であり、$\alpha = 0$ 以外では $p = E$ とはならない。

また、$rp = E$となる$r$が存在するならば、両辺に左から$p$を掛けて$ppr = pE$となる。

よって$pr = p$。同様に$p = E$となり矛盾する。

したがって、$pr = rp = E$ を満たす行列 $r$ は存在しない。

(3)

$p^2 = pp = p = \begin{pmatrix} \cos^2 \alpha & \sin \alpha \cos \alpha \\ \sin \alpha \cos \alpha & \sin^2 \alpha \end{pmatrix}$

$ρ^2 = ρρ = E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$p^2 = p$ より、2回射影しても同じ変換。

$ρ^2 = E$ より、2回線対称移動すると元に戻る。

(4)

$ρ^2 + 2ρ + E = E + 2ρ + E = 2E + 2ρ = 2(E + ρ) = 2\begin{pmatrix} 1 + \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & 1 - \cos 2\alpha \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 1 + 2\cos^2 \alpha - 1 & 2\sin \alpha \cos \alpha \\ 2\sin \alpha \cos \alpha & 1 - (1 - 2\sin^2 \alpha) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\cos^2 \alpha & 4\sin \alpha \cos \alpha \\ 4\sin \alpha \cos \alpha & 4\sin^2 \alpha \end{pmatrix} = 4\begin{pmatrix} \cos^2 \alpha & \sin \alpha \cos \alpha \\ \sin \alpha \cos \alpha & \sin^2 \alpha \end{pmatrix} = 4p$

別の計算方法として、与えられた行列に直接代入する。

$ρ^2 + 2ρ + E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 2\cos 2\alpha & 2\sin 2\alpha \\ 2\sin 2\alpha & 2 - 2\cos 2\alpha \end{pmatrix}$

$= 2 \begin{pmatrix} 1 + \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & 1 - \cos 2\alpha \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2\cos^2 \alpha & 2\sin \alpha \cos \alpha \\ 2\sin \alpha \cos \alpha & 2\sin^2 \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\cos^2 \alpha & 4\sin \alpha \cos \alpha \\ 4\sin \alpha \cos \alpha & 4\sin^2 \alpha \end{pmatrix} = 4p$

この変換は、$4p$ であり、直線 $l$ への射影を4倍したものと解釈できる。