与えられた行列Aを行基本変形を用いて階段行列Bに変形し、選択肢の中から正しい階段行列Bを選ぶ問題です。行列Aは以下の通りです。 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 & 2 & 0 & -1 \\ 4 & 5 & 10 & 6 & 3 & -3 \\ 2 & 1 & 9 & 8 & -4 & -5 \\ 3 & 5 & 5 & 2 & 6 & -1 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列Aを行基本変形を用いて階段行列Bに変形し、選択肢の中から正しい階段行列Bを選ぶ問題です。行列Aは以下の通りです。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 & 2 & 0 & -1 \\ 4 & 5 & 10 & 6 & 3 & -3 \\ 2 & 1 & 9 & 8 & -4 & -5 \\ 3 & 5 & 5 & 2 & 6 & -1 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列$A$を行基本変形によって階段行列に変形します。

1. 2行目から1行目の4倍を引きます:

$R_2 \rightarrow R_2 - 4R_1$

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 9 & 8 & -4 & -5 \\ 3 & 5 & 5 & 2 & 6 & -1 \end{bmatrix}$

2. 3行目から1行目の2倍を引きます:

$R_3 \rightarrow R_3 - 2R_1$

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 3 & 4 & -4 & -3 \\ 3 & 5 & 5 & 2 & 6 & -1 \end{bmatrix}$

3. 4行目から1行目の3倍を引きます:

$R_4 \rightarrow R_4 - 3R_1$

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 3 & 4 & -4 & -3 \\ 0 & 2 & -4 & -4 & 6 & 2 \end{bmatrix}$

4. 3行目に2行目を足します:

$R_3 \rightarrow R_3 + R_2$

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & -4 & -4 & 6 & 2 \end{bmatrix}$

5. 4行目から2行目の2倍を引きます:

$R_4 \rightarrow R_4 - 2R_2$

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

6. 1行目から2行目を引きます:

$R_1 \rightarrow R_1 - R_2$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 & 4 & -3 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

7. 1行目から3行目の5倍を引きます:

$R_1 \rightarrow R_1 - 5R_3$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -6 & 2 & 8 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

8. 2行目に3行目の2倍を足します:

$R_2 \rightarrow R_2 + 2R_3$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -6 & 2 & 8 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

以上の操作で得られた階段行列は以下の通りです。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -6 & 2 & 8 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

選択肢4が正しいです。