(1) ベクトル $\vec{a}=(1, 2)$ と $\vec{b}=(k, 4)$ が与えられている。 - $\vec{a} - \vec{b}$ と $2\vec{b} - \vec{a}$ が平行であるとき、$k$ の値を求める。 - $3\vec{a} - \vec{b}$ と $\vec{a} + \vec{b}$ が垂直であるとき、$k$ の値を求める。 (2) ベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ が $|\vec{a} + \vec{b}| = 11, |\vec{a} - \vec{b}| = 7$ を満たすとき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。 (3) 空間の2つのベクトル $\vec{a}=(2, 3, 1), \vec{b}=(-1, 2, 3)$ の両方に垂直で大きさが1のベクトルを求める。

1. 問題の内容

(1) ベクトル $\vec{a}=(1, 2)$ と $\vec{b}=(k, 4)$ が与えられている。

- $\vec{a} - \vec{b}$ と $2\vec{b} - \vec{a}$ が平行であるとき、$k$ の値を求める。

- $3\vec{a} - \vec{b}$ と $\vec{a} + \vec{b}$ が垂直であるとき、$k$ の値を求める。

(2) ベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ が $|\vec{a} + \vec{b}| = 11, |\vec{a} - \vec{b}| = 7$ を満たすとき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。

(3) 空間の2つのベクトル $\vec{a}=(2, 3, 1), \vec{b}=(-1, 2, 3)$ の両方に垂直で大きさが1のベクトルを求める。

2. 解き方の手順

(1)

- $\vec{a} - \vec{b} = (1-k, 2-4) = (1-k, -2)$

- $2\vec{b} - \vec{a} = (2k-1, 8-2) = (2k-1, 6)$

$\vec{a} - \vec{b}$ と $2\vec{b} - \vec{a}$ が平行であるとき、ある実数 $t$ が存在して

$2\vec{b} - \vec{a} = t (\vec{a} - \vec{b})$

$(2k-1, 6) = t(1-k, -2)$

$2k-1 = t(1-k)$, $6 = -2t$

$t = -3$ より、 $2k-1 = -3(1-k) = -3 + 3k$

$k = 2$

- $3\vec{a} - \vec{b} = (3-k, 6-4) = (3-k, 2)$

- $\vec{a} + \vec{b} = (1+k, 2+4) = (1+k, 6)$

$3\vec{a} - \vec{b}$ と $\vec{a} + \vec{b}$ が垂直であるとき、内積は0

$(3\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = (3-k)(1+k) + 2 \cdot 6 = 0$

$3 + 3k - k - k^2 + 12 = 0$

$-k^2 + 2k + 15 = 0$

$k^2 - 2k - 15 = 0$

$(k-5)(k+3) = 0$

$k = 5, -3$

(2)

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 11^2 = 121$

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 7^2 = 49$

$|\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 - (|\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2) = 121 - 49$

$4\vec{a} \cdot \vec{b} = 72$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 18$

(3)

$\vec{a}=(2, 3, 1), \vec{b}=(-1, 2, 3)$ に垂直なベクトルを $\vec{c} = (x, y, z)$ とする。

$\vec{a} \cdot \vec{c} = 2x + 3y + z = 0$

$\vec{b} \cdot \vec{c} = -x + 2y + 3z = 0$

$2x + 3y + z = 0$ より $z = -2x - 3y$

$-x + 2y + 3(-2x - 3y) = 0$

$-x + 2y - 6x - 9y = 0$

$-7x - 7y = 0$

$y = -x$

$z = -2x - 3(-x) = -2x + 3x = x$

$\vec{c} = (x, -x, x)$

$|\vec{c}| = \sqrt{x^2 + (-x)^2 + x^2} = \sqrt{3x^2} = |x|\sqrt{3} = 1$

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\vec{c} = (\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$ または $\vec{c} = (-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}})$

3. 最終的な答え

(1)

- $\vec{a} - \vec{b}$ と $2\vec{b} - \vec{a}$ が平行であるとき: $k=2$

- $3\vec{a} - \vec{b}$ と $\vec{a} + \vec{b}$ が垂直であるとき: $k=5, -3$

(2) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 18$

(3) $(\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$ または $(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}})$