実数 $\theta$ に対して、2次正則行列 $R_\theta$ と $A_\theta$ がそれぞれ $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}, \quad A_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix}$ で定義される。実数 $\alpha, \beta$ を与えるとき、以下の問いに答えよ。 (1) 等式 $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha+\beta}$ が成り立つかどうか判定せよ。 (2) 等式 $R_\alpha R_\beta^{-1} = R_{\alpha-\beta}$ が成り立つかどうか判定せよ。 (3) 等式 $A_\alpha A_\beta = A_{\alpha+\beta}$ が成り立つかどうか判定せよ。 (4) 等式 $A_\alpha A_\beta^{-1} = R_{\alpha-\beta}$ が成り立つかどうか判定せよ。

1. 問題の内容

実数 $\theta$ に対して、2次正則行列 $R_\theta$ と $A_\theta$ がそれぞれ

$R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}, \quad A_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix}$

で定義される。実数 $\alpha, \beta$ を与えるとき、以下の問いに答えよ。

(1) 等式 $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha+\beta}$ が成り立つかどうか判定せよ。

(2) 等式 $R_\alpha R_\beta^{-1} = R_{\alpha-\beta}$ が成り立つかどうか判定せよ。

(3) 等式 $A_\alpha A_\beta = A_{\alpha+\beta}$ が成り立つかどうか判定せよ。

(4) 等式 $A_\alpha A_\beta^{-1} = R_{\alpha-\beta}$ が成り立つかどうか判定せよ。

2. 解き方の手順

(1) $R_\alpha R_\beta$ を計算する。

$R_\alpha R_\beta = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta & \cos\beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta & -\cos\alpha\sin\beta - \sin\alpha\cos\beta \\ \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta & -\sin\alpha\sin\beta + \cos\alpha\cos\beta \end{pmatrix}$

三角関数の加法定理より、

$R_\alpha R_\beta = \begin{pmatrix} \cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta) & \cos(\alpha+\beta) \end{pmatrix} = R_{\alpha+\beta}$

したがって、$R_\alpha R_\beta = R_{\alpha+\beta}$ は常に成り立つ。

(2) $R_\beta^{-1}$ を計算する。$R_\beta$ は回転行列なので、$R_\beta^{-1} = R_{-\beta}$ である。

$R_\alpha R_\beta^{-1} = R_\alpha R_{-\beta} = R_{\alpha+(-\beta)} = R_{\alpha-\beta}$

したがって、$R_\alpha R_\beta^{-1} = R_{\alpha-\beta}$ は常に成り立つ。

(3) $A_\alpha A_\beta$ を計算する。

$A_\alpha A_\beta = \begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ \sin\alpha & -\cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\beta & \sin\beta \\ \sin\beta & -\cos\beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta & \cos\alpha\sin\beta - \sin\alpha\cos\beta \\ \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta & \sin\alpha\sin\beta + \cos\alpha\cos\beta \end{pmatrix}$

三角関数の加法定理より、

$A_\alpha A_\beta = \begin{pmatrix} \cos(\alpha-\beta) & -\sin(\alpha-\beta) \\ \sin(\alpha-\beta) & \cos(\alpha-\beta) \end{pmatrix} = R_{\alpha-\beta}$

一方、$A_{\alpha+\beta} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha+\beta) & \sin(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta) & -\cos(\alpha+\beta) \end{pmatrix}$

$A_\alpha A_\beta = A_{\alpha+\beta}$ は一般には成り立たない。例えば、$\alpha = \beta = 0$ のとき、

$A_0 A_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A_{0+0} = A_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

したがって、この場合は $A_\alpha A_\beta = A_{\alpha+\beta}$ は成り立たない。

(4) $A_\beta^{-1}$ を計算する。$A_\beta A_\beta = E$ であるから、$A_\beta^{-1} = A_\beta$ である。

$A_\alpha A_\beta^{-1} = A_\alpha A_\beta = R_{\alpha-\beta}$

したがって、$A_\alpha A_\beta^{-1} = R_{\alpha-\beta}$ は常に成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 1

(3) 2

(4) 1