与えられた3次方程式 $x^3 - 64 = 0$ の解を求める問題です。特に、虚数解を $x = -(エ) \pm (オ\sqrt{カ}i)$ の形で求める必要があります。

1. 問題の内容

与えられた3次方程式 $x^3 - 64 = 0$ の解を求める問題です。特に、虚数解を $x = -(エ) \pm (オ\sqrt{カ}i)$ の形で求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 - 64 = 0$ を $x^3 = 64$ と変形します。

次に、64の3乗根を求めます。実数解は $x = 4$ です。

複素数解を求めるために、極形式を利用します。

$64 = 64(\cos 0 + i \sin 0)$ と表せます。

ド・モアブルの定理より、

$x = \sqrt[3]{64} \left( \cos \frac{0 + 2k\pi}{3} + i \sin \frac{0 + 2k\pi}{3} \right)$, ($k = 0, 1, 2$)

$x = 4 \left( \cos \frac{2k\pi}{3} + i \sin \frac{2k\pi}{3} \right)$

$k=0$ のとき、$x = 4(\cos 0 + i \sin 0) = 4$ (実数解)

$k=1$ のとき、$x = 4 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) = 4 \left( -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -2 + 2\sqrt{3}i$

$k=2$ のとき、$x = 4 \left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right) = 4 \left( -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -2 - 2\sqrt{3}i$

したがって、$x = -2 \pm 2\sqrt{3}i$ となります。

3. 最終的な答え

問題文の形式にあてはめると、

$x = -2 \pm 2\sqrt{3}i$ であるので、

エ = 2

オ = 2

カ = 3

となります。

また、実数解 $x=4$も解の一つなので、 キ = 4 となります。

したがって、最終的な答えは、

エ = 2, オ = 2, カ = 3, キ = 4