AとBが的当てゲームを行い、中心の黒い部分に当たると5点、白い部分に当たると1点が加算される。以下の条件からBが5点の部分に当てた本数を求める。 * Aは5点の部分と1点の部分に当てた本数が同じ。 * AはBよりも3回多く的に当てた。 * AとBが的に当てた合計本数は10本以上15本以下。 * AとBの合計得点差は5点以下であり、Aが勝った。

1. 問題の内容

AとBが的当てゲームを行い、中心の黒い部分に当たると5点、白い部分に当たると1点が加算される。以下の条件からBが5点の部分に当てた本数を求める。

* Aは5点の部分と1点の部分に当てた本数が同じ。

* AはBよりも3回多く的に当てた。

* AとBが的に当てた合計本数は10本以上15本以下。

* AとBの合計得点差は5点以下であり、Aが勝った。

2. 解き方の手順

Bが5点の部分に当てた本数を $x$ とする。

Aが5点の部分に当てた本数を $a$ とする。

Aが1点の部分に当てた本数も $a$ である。

Bが1点の部分に当てた本数を $y$ とする。

AはBよりも3回多く的に当てたので、$a + a = x + y + 3$。したがって、

$2a = x + y + 3$。

AとBが的に当てた合計本数は10本以上15本以下なので、$2a + x + y \geq 10$ かつ $2a + x + y \leq 15$。

$2a = x + y + 3$ を代入すると、$x + y + 3 + x + y \geq 10$ かつ $x + y + 3 + x + y \leq 15$。

整理すると、$2x + 2y \geq 7$ かつ $2x + 2y \leq 12$。

$x + y \geq 3.5$ かつ $x + y \leq 6$。$x, y$は整数なので、$x + y \geq 4$ かつ $x + y \leq 6$。

Aの得点は $5a + a = 6a$ 点、Bの得点は $5x + y$ 点。

AとBの合計得点差は5点以下であり、Aが勝ったので、$6a - (5x + y) \leq 5$ かつ $6a > 5x + y$。

$2a = x + y + 3$ より、$a = \frac{x + y + 3}{2}$。

これを代入すると、$6 \cdot \frac{x + y + 3}{2} - (5x + y) \leq 5$。

$3(x + y + 3) - 5x - y \leq 5$

$3x + 3y + 9 - 5x - y \leq 5$

$-2x + 2y \leq -4$

$-x + y \leq -2$

$y \leq x - 2$

$x + y \geq 4$ かつ $x + y \leq 6$ より、$y \geq 4 - x$ かつ $y \leq 6 - x$。

$4 - x \leq y \leq x - 2$ なので、$4 - x \leq x - 2$。

$6 \leq 2x$

$3 \leq x$

$x + y \leq 6$ かつ $y \leq x - 2$ なので、$x + x - 2 \geq 4$

$6a > 5x + y$ より、$6 \cdot \frac{x + y + 3}{2} > 5x + y$

$3x + 3y + 9 > 5x + y$

$2y > 2x - 9$

$y > x - \frac{9}{2}$

$x + y \leq 6$ より、$y \leq 6 - x$。

$6 - x > x - \frac{9}{2}$

$\frac{21}{2} > 2x$

$x < \frac{21}{4} = 5.25$

$3 \leq x < 5.25$ なので、$x$ は3, 4, 5のいずれか。

$x = 3$ のとき、$y \leq x - 2 = 1$ かつ $x + y \geq 4$ より、$y \geq 1$ なので、$y = 1$。

$6a > 5x + y = 16$、$a = \frac{x + y + 3}{2} = \frac{3 + 1 + 3}{2} = \frac{7}{2}$。$6a = 21 > 16$。

$6a - (5x + y) = 21 - 16 = 5$。得点差が5以下なのでこれは条件を満たす。

$x = 4$ のとき、$y \leq x - 2 = 2$ かつ $x + y \leq 6$ より、$y \leq 2$。$x + y \geq 4$より、$y \geq 0$。

$a = \frac{x + y + 3}{2} = \frac{4 + y + 3}{2} = \frac{7 + y}{2}$

$6a = 3(7 + y) = 21 + 3y$

$5x + y = 20 + y$

$6a - (5x + y) = 21 + 3y - 20 - y = 1 + 2y \leq 5$ より、$2y \leq 4$、$y \leq 2$。

$6a = 3(7 + y) > 5x + y$ より、$3(7 + y) > 20 + y$、$21 + 3y > 20 + y$、$2y > -1$、$y > -0.5$。

$a = \frac{x + y + 3}{2} = \frac{4 + y + 3}{2} = \frac{7 + y}{2}$

$x=3, y=1$, $2a = 3 + 1 + 3 = 7$, $a = 3.5$。Aの得点 $6a = 21$。Bの得点 $5x + y = 15 + 1 = 16$。$A - B = 5$。AがBより3回多く当てている $2a = x + y + 3$, $7 = 3 + 1 + 3 = 7$。

$A + B$の合計本数は $2a + x + y = 7 + 3 + 1 = 11$。10本以上15本以下を満たす。

$x=3$が条件を満たす。

3. 最終的な答え

3本