与えられた数式の値を計算します。問題は $(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6})(\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6})$ を計算せよ、というものです。

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。問題は $(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6})(\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6})$ を計算せよ、というものです。

2. 解き方の手順

この式は、$(\sqrt{2}+(\sqrt{3}+\sqrt{6}))(\sqrt{2}-(\sqrt{3}+\sqrt{6}))$ のように見ることができます。ここで $A = \sqrt{2}$、 $B = \sqrt{3}+\sqrt{6}$ とおくと、与式は $(A+B)(A-B)$ となります。

これは $A^2 - B^2$ に等しいので、$A$ と $B$ を代入すると、

$(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3}+\sqrt{6})^2$ となります。

まず、$(\sqrt{2})^2$ を計算します。

$(\sqrt{2})^2 = 2$

次に、$(\sqrt{3}+\sqrt{6})^2$ を計算します。

$(\sqrt{3}+\sqrt{6})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 3 + 2\sqrt{18} + 6 = 9 + 2\sqrt{9 \times 2} = 9 + 2 \times 3\sqrt{2} = 9 + 6\sqrt{2}$

したがって、 $(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3}+\sqrt{6})^2 = 2 - (9 + 6\sqrt{2}) = 2 - 9 - 6\sqrt{2} = -7 - 6\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$-7 - 6\sqrt{2}$