与えられた式 $a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 + 8abc$ を展開し、整理して因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 + 8abc$ を展開し、整理して因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、各項を展開します。

$a(b-c)^2 = a(b^2 - 2bc + c^2) = ab^2 - 2abc + ac^2$

$b(c-a)^2 = b(c^2 - 2ca + a^2) = bc^2 - 2abc + ba^2$

$c(a-b)^2 = c(a^2 - 2ab + b^2) = ca^2 - 2abc + cb^2$

これらの展開式と最後の項を合計すると、

$ab^2 - 2abc + ac^2 + bc^2 - 2abc + ba^2 + ca^2 - 2abc + cb^2 + 8abc$

$= ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 - 6abc + 8abc$

$= ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 2abc$

次に、この式を因数分解します。

$ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 2abc$

$= a(b^2 + c^2) + b(c^2 + a^2) + c(a^2 + b^2) + 2abc$

$= a(b^2 + c^2 + 2bc) + b(c^2 + a^2 + 2ac) + c(a^2 + b^2 + 2ab) - 2abc - 2abc - 2abc + 2abc$

$= a(b+c)^2 + b(c+a)^2 + c(a+b)^2 -4abc$

（このやり方ではうまくいかない）

式全体を並び替えて、$a$について整理することを試みます。

$ab^2 + a^2b + ac^2 + a^2c + bc^2 + b^2c + 2abc$

$= (b^2+c^2+2bc)a + (b+c)a^2 + (b^2c+bc^2)$

$= (b+c)^2a + (b+c)a^2 + bc(b+c)$

$= (b+c)[(b+c)a+a^2+bc]$

$= (b+c)(ab+ac+a^2+bc)$

$= (b+c)[a(a+b)+c(a+b)]$

$= (b+c)(a+b)(a+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$