3桁の正の整数Mがあり、百の位がa、十の位がb、一の位がcである。Mの百の位と一の位を入れ替えてできる数NはMより396小さい。 (1) a - c の値を求めなさい。 (2) (a, c) の組は全部で何個あるか、求めなさい。

1. 問題の内容

3桁の正の整数Mがあり、百の位がa、十の位がb、一の位がcである。Mの百の位と一の位を入れ替えてできる数NはMより396小さい。

(1) a - c の値を求めなさい。

(2) (a, c) の組は全部で何個あるか、求めなさい。

2. 解き方の手順

(1)

Mは $100a + 10b + c$ と表せる。

Nは $100c + 10b + a$ と表せる。

問題文より、$M - N = 396$であるから、

$100a + 10b + c - (100c + 10b + a) = 396$

$100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 396$

$99a - 99c = 396$

$99(a - c) = 396$

$a - c = \frac{396}{99} = 4$

したがって、$a - c = 4$

(2)

aとcはそれぞれ百の位と一の位の数字なので、1から9までの整数である。

$a - c = 4$を満たす(a, c)の組み合わせを考えると、

(5, 1), (6, 2), (7, 3), (8, 4), (9, 5)の5通りがある。

3. 最終的な答え

(1) $a - c = 4$

(2) 5個