正の奇数を、第1群が1個、第2群が3個、第3群が5個というように群に分けて並べます。 (1) 第$n$群の最初の数を$n$の式で表してください。 (2) 735が第何群の何番目の数か求めてください。

1. 問題の内容

正の奇数を、第1群が1個、第2群が3個、第3群が5個というように群に分けて並べます。

(1) 第$n$群の最初の数を$n$の式で表してください。

(2) 735が第何群の何番目の数か求めてください。

2. 解き方の手順

(1) 第$n$群の最初の数を求める。

まず、第$n$群の最初の数は、それまでの群に含まれる奇数の個数の総和に1を加えたものが、奇数全体の何番目になるかを表す。

第$k$群には$(2k-1)$個の奇数が含まれている。したがって、第$n-1$群までの奇数の個数の総和$S_{n-1}$は、

$S_{n-1} = \sum_{k=1}^{n-1} (2k-1) = 2\sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 2\frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = (n-1)n - (n-1) = (n-1)^2$

したがって、第$n$群の最初の数は、奇数全体の$(n-1)^2 + 1$番目の数である。

奇数は$2m-1$で表せるので、求める数は$2((n-1)^2+1)-1 = 2(n-1)^2 + 2 - 1 = 2(n-1)^2 + 1 = 2(n^2 - 2n + 1) + 1 = 2n^2 - 4n + 2 + 1 = 2n^2 - 4n + 3$

(2) 735が第何群の何番目かを求める。

まず、735が奇数全体の何番目の数か求める。$2m-1=735$より、$2m = 736$だから、$m = 368$。したがって735は奇数全体の368番目の数である。

次に、735が第$n$群に含まれるとする。このとき、

$\sum_{k=1}^{n-1} (2k-1) < 368 \le \sum_{k=1}^{n} (2k-1)$

$\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = 2\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1 = 2\frac{n(n+1)}{2} - n = n(n+1)-n = n^2$

したがって、$(n-1)^2 < 368 \le n^2$が成り立つ。

$19^2 = 361$、$20^2 = 400$だから、$n-1=19$、つまり$n=20$となる。

したがって735は第20群に含まれる。

第20群の最初の数は、奇数全体の$(20-1)^2 + 1 = 19^2+1 = 361+1 = 362$番目の奇数である。

735は奇数全体の368番目なので、第20群の中で、$368-361 = 7$番目の数である。

3. 最終的な答え

(1) 第$n$群の最初の数は $2n^2 - 4n + 3$

(2) 735は第20群の7番目の数