与えられた等式 $2x^2 - x + 4 = (x+1)(ax+b) + c$ が $x$ についての恒等式となるように、$a$, $b$, $c$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた等式 $2x^2 - x + 4 = (x+1)(ax+b) + c$ が $x$ についての恒等式となるように、$a$, $b$, $c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、右辺を展開する。

$(x+1)(ax+b) + c = ax^2 + bx + ax + b + c = ax^2 + (a+b)x + b+c$

したがって、

$2x^2 - x + 4 = ax^2 + (a+b)x + b+c$

この等式が $x$ についての恒等式であるためには、$x$ の各次数の係数が一致する必要がある。すなわち、

$x^2$ の係数について、$a = 2$

$x$ の係数について、$a+b = -1$

定数項について、$b+c = 4$

$a=2$ を $a+b=-1$ に代入すると、$2+b=-1$ より、$b = -3$

$b=-3$ を $b+c=4$ に代入すると、$-3+c=4$ より、$c = 7$

よって、$a=2$, $b=-3$, $c=7$

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = -3$

$c = 7$