長さが8cmの線分AB上を点PがAからBまで動くとき、APとPBをそれぞれ1辺とする正方形の面積の和が36cm$^2$になるのは、点PがAから何cm動いたときか求める。

1. 問題の内容

長さが8cmの線分AB上を点PがAからBまで動くとき、APとPBをそれぞれ1辺とする正方形の面積の和が36cm$^2$になるのは、点PがAから何cm動いたときか求める。

2. 解き方の手順

点PがAから$x$ cm動いたとすると、AP = $x$ cm、PB = $(8-x)$ cmとなる。

APを1辺とする正方形の面積は$x^2$ cm$^2$、PBを1辺とする正方形の面積は$(8-x)^2$ cm$^2$となる。

これらの面積の和が36cm$^2$になるので、次の式が成り立つ。

$x^2 + (8-x)^2 = 36$

この方程式を解く。

$x^2 + (64 - 16x + x^2) = 36$

$2x^2 - 16x + 64 = 36$

$2x^2 - 16x + 28 = 0$

$x^2 - 8x + 14 = 0$

解の公式を用いる。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(14)}}{2(1)}$

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 56}}{2}$

$x = \frac{8 \pm \sqrt{8}}{2}$

$x = \frac{8 \pm 2\sqrt{2}}{2}$

$x = 4 \pm \sqrt{2}$

$4 + \sqrt{2} \approx 4 + 1.414 = 5.414$

$4 - \sqrt{2} \approx 4 - 1.414 = 2.586$

いずれも0から8の間にあり、問題に適している。

3. 最終的な答え

点PがAから $(4 + \sqrt{2})$ cm または $(4 - \sqrt{2})$ cm 動いたとき。

近似値で答えるならば、約5.4 cm または 約2.6 cm 動いたとき。