与えられた対数関数の値を計算する問題です。具体的には、 $\frac{4}{5} \log_{10}32 + \log_{10}\frac{1}{3} - \log_{10}\frac{8}{15}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた対数関数の値を計算する問題です。具体的には、

$\frac{4}{5} \log_{10}32 + \log_{10}\frac{1}{3} - \log_{10}\frac{8}{15}$

の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$32 = 2^5$、$\frac{1}{3}$、$\frac{8}{15}$ を用いて式を簡略化します。

$\frac{4}{5} \log_{10}32 + \log_{10}\frac{1}{3} - \log_{10}\frac{8}{15} = \frac{4}{5} \log_{10}2^5 + \log_{10}\frac{1}{3} - \log_{10}\frac{8}{15}$

対数の性質 $\log_a x^n = n \log_a x$ を用いると、

$\frac{4}{5} \log_{10}2^5 = \frac{4}{5} \cdot 5 \log_{10}2 = 4 \log_{10}2$

よって、

$4 \log_{10}2 + \log_{10}\frac{1}{3} - \log_{10}\frac{8}{15}$

対数の性質 $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$ を用いると、

$\log_{10}\frac{1}{3} - \log_{10}\frac{8}{15} = \log_{10} \frac{\frac{1}{3}}{\frac{8}{15}} = \log_{10} \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{15}{8}\right) = \log_{10} \frac{15}{24} = \log_{10} \frac{5}{8}$

したがって、

$4 \log_{10}2 + \log_{10}\frac{5}{8} = \log_{10}2^4 + \log_{10}\frac{5}{8} = \log_{10}16 + \log_{10}\frac{5}{8}$

対数の性質 $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$ を用いると、

$\log_{10}16 + \log_{10}\frac{5}{8} = \log_{10}\left(16 \cdot \frac{5}{8}\right) = \log_{10}\left(2 \cdot 5\right) = \log_{10}10 = 1$

3. 最終的な答え

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