複素数 $z = a + bi$ が与えられたとき、$a^2 - b^2$ を $z$ と $\overline{z}$ を用いて表す問題です。ここで、$\overline{z}$ は $z$ の共役複素数 $a - bi$ です。

1. 問題の内容

複素数 $z = a + bi$ が与えられたとき、$a^2 - b^2$ を $z$ と $\overline{z}$ を用いて表す問題です。ここで、$\overline{z}$ は $z$ の共役複素数 $a - bi$ です。

2. 解き方の手順

まず、$a$ と $b$ を $z$ と $\overline{z}$ を用いて表します。問題文中に、$a = \frac{1}{2}(z + \overline{z})$ と $b = \frac{1}{2i}(z - \overline{z})$ が与えられています。

次に、$a^2$ と $b^2$ を計算します。

$a^2 = \left(\frac{1}{2}(z + \overline{z})\right)^2 = \frac{1}{4}(z^2 + 2z\overline{z} + \overline{z}^2)$

$b^2 = \left(\frac{1}{2i}(z - \overline{z})\right)^2 = \frac{1}{-4}(z^2 - 2z\overline{z} + \overline{z}^2) = -\frac{1}{4}(z^2 - 2z\overline{z} + \overline{z}^2)$

最後に、$a^2 - b^2$ を計算します。

$a^2 - b^2 = \frac{1}{4}(z^2 + 2z\overline{z} + \overline{z}^2) - \left(-\frac{1}{4}(z^2 - 2z\overline{z} + \overline{z}^2)\right)$

$= \frac{1}{4}(z^2 + 2z\overline{z} + \overline{z}^2) + \frac{1}{4}(z^2 - 2z\overline{z} + \overline{z}^2)$

$= \frac{1}{4}(2z^2 + 2\overline{z}^2)$

$= \frac{1}{2}(z^2 + \overline{z}^2)$

3. 最終的な答え

$a^2 - b^2 = \frac{1}{2}(z^2 + \overline{z}^2)$