整式 $P(x) = x^3 + ax + 2$ を $x+1$ で割った余りが $3$ であるとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

整式 $P(x) = x^3 + ax + 2$ を $x+1$ で割った余りが $3$ であるとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

剰余の定理より、$P(x)$ を $x+1$ で割った余りは $P(-1)$ に等しいです。

したがって、$P(-1) = 3$ となります。

$P(-1)$ を計算すると、

$P(-1) = (-1)^3 + a(-1) + 2 = -1 - a + 2 = 1 - a$

したがって、$1 - a = 3$ という方程式が得られます。

これを解くと、

$-a = 3 - 1$

$-a = 2$

$a = -2$

3. 最終的な答え

$a = -2$