不等式 $x - a \le 2(5-x)$ を満たす $x$ のうち、最大の整数が $5$ であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

代数学不等式整数解一次不等式
2025/6/27

1. 問題の内容

不等式 xa2(5x)x - a \le 2(5-x) を満たす xx のうち、最大の整数が 55 であるとき、定数 aa の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、不等式を xx について解きます。
xa2(5x)x - a \le 2(5-x)
xa102xx - a \le 10 - 2x
x+2x10+ax + 2x \le 10 + a
3x10+a3x \le 10 + a
x10+a3x \le \frac{10+a}{3}
問題文より、この不等式を満たす最大の整数が 55 であるので、
510+a3<65 \le \frac{10+a}{3} < 6
という関係が成り立ちます。この不等式を解くことで、aa の範囲を求めることができます。
まず、510+a35 \le \frac{10+a}{3} について解きます。
1510+a15 \le 10+a
1510a15 - 10 \le a
5a5 \le a
次に、10+a3<6\frac{10+a}{3} < 6 について解きます。
10+a<1810+a < 18
a<1810a < 18 - 10
a<8a < 8
よって、5a<85 \le a < 8 となります。

3. 最終的な答え

5a<85 \le a < 8

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