数列 ${a_n}$ が与えられており、その一般項を求めます。 数列の初項は $a_1 = 1$ であり、漸化式は $a_{n+1} = \frac{1}{3}a_n + 2$ です。

1. 問題の内容

数列 ${a_n}$ が与えられており、その一般項を求めます。

数列の初項は $a_1 = 1$ であり、漸化式は $a_{n+1} = \frac{1}{3}a_n + 2$ です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を変形します。特性方程式 $x = \frac{1}{3}x + 2$ を解きます。

$x - \frac{1}{3}x = 2$

$\frac{2}{3}x = 2$

$x = 3$

したがって、漸化式は次のように変形できます。

$a_{n+1} - 3 = \frac{1}{3}(a_n - 3)$

数列 $\{a_n - 3\}$ は公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列です。

初項は $a_1 - 3 = 1 - 3 = -2$ です。

したがって、$a_n - 3 = -2 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$ となります。

よって、$a_n = 3 - 2 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$

3. 最終的な答え

$a_n = 3 - 2 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$