数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ がそれぞれ漸化式 $a_{n+1} = a_n + p$ および $b_{n+1} = b_n + 4a_n + q$ で定義されている。 (1) $a_1 = 3, a_4 = 9$ のとき、$p$ の値を求め、さらに $a_n$ を $n$ を用いて表せ。 (2) $b_1 = 4$ のとき、$b_n$ を $n$ と $q$ を用いて表せ。また、$\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{n^2}$ を求めよ。 (3) $\lim_{n \to \infty} (a_n - \sqrt{b_n}) = \frac{1}{2}$ となるような $q$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ がそれぞれ漸化式 $a_{n+1} = a_n + p$ および $b_{n+1} = b_n + 4a_n + q$ で定義されている。

(1) $a_1 = 3, a_4 = 9$ のとき、$p$ の値を求め、さらに $a_n$ を $n$ を用いて表せ。

(2) $b_1 = 4$ のとき、$b_n$ を $n$ と $q$ を用いて表せ。また、$\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{n^2}$ を求めよ。

(3) $\lim_{n \to \infty} (a_n - \sqrt{b_n}) = \frac{1}{2}$ となるような $q$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$a_{n+1} = a_n + p$ より、数列 $\{a_n\}$ は初項 $a_1 = 3$, 公差 $p$ の等差数列である。

したがって、$a_n = a_1 + (n-1)p = 3 + (n-1)p$ である。

$a_4 = 9$ より、$9 = 3 + (4-1)p = 3 + 3p$ となる。

$3p = 6$ より、$p = 2$ である。

よって、$a_n = 3 + (n-1) \cdot 2 = 2n + 1$ である。

(2)

$b_{n+1} = b_n + 4a_n + q$ であり、$a_n = 2n+1$ を代入すると、$b_{n+1} = b_n + 4(2n+1) + q = b_n + 8n + 4 + q$ となる。

$b_{n+1} - b_n = 8n + 4 + q$ である。

$n \geq 1$ に対して、$b_{n+1} - b_n = 8n + 4 + q$ であるから、

$b_n - b_1 = \sum_{k=1}^{n-1} (b_{k+1} - b_k) = \sum_{k=1}^{n-1} (8k + 4 + q) = 8 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + (4+q)(n-1) = 4n(n-1) + (4+q)(n-1) = (4n+q)(n-1) = 4n^2 - 4n + qn - q$ である。

したがって、$b_n = b_1 + 4n^2 - 4n + qn - q = 4 + 4n^2 - 4n + qn - q = 4n^2 + (q-4)n + 4 - q$ となる。

$\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2 + (q-4)n + 4-q}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \left(4 + \frac{q-4}{n} + \frac{4-q}{n^2}\right) = 4$ である。

(3)

$\lim_{n \to \infty} (a_n - \sqrt{b_n}) = \lim_{n \to \infty} (2n+1 - \sqrt{4n^2 + (q-4)n + 4-q}) = \frac{1}{2}$ を満たす $q$ の値を求める。

$2n+1 - \sqrt{4n^2 + (q-4)n + 4-q} = \frac{(2n+1)^2 - (4n^2 + (q-4)n + 4-q)}{2n+1 + \sqrt{4n^2 + (q-4)n + 4-q}} = \frac{4n^2 + 4n + 1 - 4n^2 - (q-4)n - 4 + q}{2n+1 + \sqrt{4n^2 + (q-4)n + 4-q}} = \frac{(8-q)n + q - 3}{2n+1 + \sqrt{4n^2 + (q-4)n + 4-q}}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{(8-q)n + q-3}{2n+1 + \sqrt{4n^2 + (q-4)n + 4-q}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(8-q) + \frac{q-3}{n}}{2 + \frac{1}{n} + \sqrt{4 + \frac{q-4}{n} + \frac{4-q}{n^2}}} = \frac{8-q}{2 + \sqrt{4}} = \frac{8-q}{4}$ である。

$\frac{8-q}{4} = \frac{1}{2}$ より、$8-q = 2$ となり、$q = 6$ である。

3. 最終的な答え

(1) $p=2$, $a_n = 2n+1$

(2) $b_n = 4n^2 + (q-4)n + 4-q$, $\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{n^2} = 4$

(3) $q=6$