複素数 $\alpha$ があり、$|\alpha + 1| = 3\sqrt{2}$, $arg(\alpha + 1) = \frac{\pi}{4}$ である。複素数平面上に3点 A($\alpha$), B($pi$), C($q$) (p, q は実数)をとる。点 B を中心として点 C を $\frac{\pi}{2}$ だけ回転した点が点 A と一致する。 (1) $\alpha + 1$ を極形式で表し、$\alpha$ を $x + yi$ ($x$, $y$ は実数) の形で表せ。 (2) $p$, $q$ の値をそれぞれ求めよ。 (3) 2 つの複素数 $w$, $z$ が $w = \frac{i}{z}$ を満たす。点 $z$ が線分 BC の垂直二等分線上を動くとき、点 $w$ の描く図形を求めよ。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha$ があり、$|\alpha + 1| = 3\sqrt{2}$, $arg(\alpha + 1) = \frac{\pi}{4}$ である。複素数平面上に3点 A($\alpha$), B($pi$), C($q$) (p, q は実数)をとる。点 B を中心として点 C を $\frac{\pi}{2}$ だけ回転した点が点 A と一致する。

(1) $\alpha + 1$ を極形式で表し、$\alpha$ を $x + yi$ ($x$, $y$ は実数) の形で表せ。

(2) $p$, $q$ の値をそれぞれ求めよ。

(3) 2 つの複素数 $w$, $z$ が $w = \frac{i}{z}$ を満たす。点 $z$ が線分 BC の垂直二等分線上を動くとき、点 $w$ の描く図形を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\alpha + 1$ の絶対値と偏角が与えられているので、極形式で表すことができる。

$\alpha + 1 = 3\sqrt{2}(\cos{\frac{\pi}{4}} + i\sin{\frac{\pi}{4}}) = 3\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 + 3i$

$\alpha = 3 + 3i - 1 = 2 + 3i$

(2)

点 C を点 B を中心として $\frac{\pi}{2}$ だけ回転した点が点 A と一致するので、

$\alpha = (q - pi)e^{i\frac{\pi}{2}} + pi = (q - pi)i + pi = qi + p$

$\alpha = p + qi$

(1) より $\alpha = 2 + 3i$ なので、$p = 2$, $q = 3$

(3)

$z$ は線分 BC の垂直二等分線上を動くので、$|z - 2i| = |z - 3|$ が成り立つ。

$w = \frac{i}{z}$ より $z = \frac{i}{w}$ なので、これを代入する。

$|\frac{i}{w} - 2i| = |\frac{i}{w} - 3|$

$|i - 2iw| = |i - 3w||w|$

$|i(1 - 2w)| = |i - 3w||w|$

$|1 - 2w| = |\frac{i}{w} - 3| |w|$

$|1 - 2w| = |i - 3w|$

$|2w - 1| = |3w - i|$

$2w = X + iY$ とすると

$|(X + iY) - 1| = |(3/2)(X + iY) - i|$

$|(2X - 1) + 2iY| = |3(X + iY) - 2i|$

$|(X - 1) + iY| = |X + i(Y-2/3)|$

$(X-1)^2 + Y^2 = X^2 + (Y-2/3)^2$

$X^2 - 2X + 1 + Y^2 = X^2 + Y^2 - \frac{4}{3}Y + \frac{4}{9}$

$-2X + 1 = -\frac{4}{3}Y + \frac{4}{9}$

$2X - \frac{4}{3}Y = 1-\frac{4}{9}$

$2X + \frac{4}{3}Y = \frac{5}{9}$

$X = Re(2w), Y = Im(2w)$

$-2X + 4/3 Y -5/9$

$(u-2)/2 =v^2

2Re(w) -1 = sqrt {9w}

$2(Re(w)) +3(Im{q}=5/3

$6w-i$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha + 1 = 3\sqrt{2}(\cos{\frac{\pi}{4}} + i\sin{\frac{\pi}{4}})$ 、$\alpha = 2 + 3i$

(2) $p = 2$, $q = 3$

(3) 点 $w$ の描く図形は、直線 $3Re(w) + 2Im(w) = \frac{5}{6}$ である。