数列$\{a_n\}$が次の条件で定義されているとき、一般項$a_n$を求める。 $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n - 2$

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が次の条件で定義されているとき、一般項$a_n$を求める。

$a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n - 2$

2. 解き方の手順

漸化式 $a_{n+1} = 3a_n - 2$ を解く。これは特性方程式を用いるタイプの漸化式である。

まず、特性方程式 $x = 3x - 2$ を解く。

$2x = 2$ より $x = 1$。

漸化式 $a_{n+1} = 3a_n - 2$ から $a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1)$ が得られる。

数列$\{a_n - 1\}$ は、初項 $a_1 - 1 = 2 - 1 = 1$、公比 $3$ の等比数列である。

したがって、$a_n - 1 = 1 \cdot 3^{n-1}$。

よって、$a_n = 3^{n-1} + 1$。

3. 最終的な答え

$a_n = 3^{n-1} + 1$