複素数 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ (ただし、$r > 0$) が与えられているとき、以下の複素数を極形式で表す問題です。 (1) $\frac{1}{z}$ (2) $z^2$ (3) $-2\overline{z}$

1. 問題の内容

複素数 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ (ただし、$r > 0$) が与えられているとき、以下の複素数を極形式で表す問題です。

(1) $\frac{1}{z}$

(2) $z^2$

(3) $-2\overline{z}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{z}$ の極形式を求めます。

まず、$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ より、

$\frac{1}{z} = \frac{1}{r(\cos\theta + i\sin\theta)}$

$\frac{1}{z} = \frac{1}{r} \cdot \frac{1}{\cos\theta + i\sin\theta}$

$\frac{1}{z} = \frac{1}{r} \cdot \frac{\cos\theta - i\sin\theta}{(\cos\theta + i\sin\theta)(\cos\theta - i\sin\theta)}$

$\frac{1}{z} = \frac{1}{r} \cdot \frac{\cos\theta - i\sin\theta}{\cos^2\theta + \sin^2\theta}$

$\frac{1}{z} = \frac{1}{r} (\cos\theta - i\sin\theta)$

ここで、$\cos(-\theta) = \cos\theta$ かつ $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ であることを用いると、

$\frac{1}{z} = \frac{1}{r}(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$

(2) $z^2$ の極形式を求めます。

$z^2 = (r(\cos\theta + i\sin\theta))^2$

$z^2 = r^2(\cos\theta + i\sin\theta)^2$

$z^2 = r^2(\cos\theta + i\sin\theta)(\cos\theta + i\sin\theta)$

$z^2 = r^2(\cos^2\theta - \sin^2\theta + 2i\sin\theta\cos\theta)$

ここで、三角関数の倍角の公式 $\cos2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ と $\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ を用いると、

$z^2 = r^2(\cos2\theta + i\sin2\theta)$

(3) $-2\overline{z}$ の極形式を求めます。

まず、$\overline{z} = r(\cos\theta - i\sin\theta)$ であり、$\overline{z} = r(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$と表せます。

$-2\overline{z} = -2r(\cos\theta - i\sin\theta)$

$-2\overline{z} = -2r(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$

$-2\overline{z} = 2r(-\cos(-\theta) - i\sin(-\theta))$

ここで、$-\cos x = \cos(x + \pi)$, $-\sin x = \sin(x + \pi)$ を利用すると、

$-2\overline{z} = 2r(\cos(-\theta+\pi) + i\sin(-\theta+\pi)) = 2r(\cos(\pi-\theta) + i\sin(\pi-\theta))$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{z} = \frac{1}{r}(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$

(2) $z^2 = r^2(\cos(2\theta) + i\sin(2\theta))$

(3) $-2\overline{z} = 2r(\cos(\pi-\theta) + i\sin(\pi-\theta))$