複素数 $z = a + bi$ について、以下の式を $z$ と $\overline{z}$ を用いて表します。 (1) $a+b$ (2) $a^2$ (画像にはありません) (3) $a^2 - b^2$

1. 問題の内容

複素数 $z = a + bi$ について、以下の式を $z$ と $\overline{z}$ を用いて表します。

(1) $a+b$

(2) $a^2$ (画像にはありません)

(3) $a^2 - b^2$

2. 解き方の手順

まず、$z = a + bi$ であるとき、$\overline{z} = a - bi$ です。

このとき、

$z + \overline{z} = (a + bi) + (a - bi) = 2a$ より、

$a = \frac{1}{2}(z + \overline{z})$

また、$z - \overline{z} = (a + bi) - (a - bi) = 2bi$ より、

$b = \frac{1}{2i}(z - \overline{z}) = -\frac{i}{2}(z - \overline{z})$

(1) $a + b$ を求めます。

$a + b = \frac{1}{2}(z + \overline{z}) - \frac{i}{2}(z - \overline{z})$

$a + b = \frac{1}{2}(z + \overline{z} - iz + i\overline{z})$

$a + b = \frac{1}{2}(1 - i)z + \frac{1}{2}(1 + i)\overline{z}$

(2) $a^2$ を求めます。

$a^2 = \left( \frac{1}{2}(z + \overline{z}) \right)^2 = \frac{1}{4}(z + \overline{z})^2 = \frac{1}{4}(z^2 + 2z\overline{z} + \overline{z}^2)$

(3) $a^2 - b^2$ を求めます。

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ ですが、$a, b$を$z$と$\overline{z}$で表したもので計算します。

$b^2 = \left( -\frac{i}{2}(z - \overline{z}) \right)^2 = -\frac{1}{4}(z - \overline{z})^2 = -\frac{1}{4}(z^2 - 2z\overline{z} + \overline{z}^2)$

$a^2 - b^2 = \frac{1}{4}(z^2 + 2z\overline{z} + \overline{z}^2) - \left( -\frac{1}{4}(z^2 - 2z\overline{z} + \overline{z}^2) \right)$

$a^2 - b^2 = \frac{1}{4}(z^2 + 2z\overline{z} + \overline{z}^2 + z^2 - 2z\overline{z} + \overline{z}^2)$

$a^2 - b^2 = \frac{1}{4}(2z^2 + 2\overline{z}^2) = \frac{1}{2}(z^2 + \overline{z}^2)$

3. 最終的な答え

(1) $a + b = \frac{1}{2}(1 - i)z + \frac{1}{2}(1 + i)\overline{z}$

(2) $a^2 = \frac{1}{4}(z^2 + 2z\overline{z} + \overline{z}^2)$

(3) $a^2 - b^2 = \frac{1}{2}(z^2 + \overline{z}^2)$