置換 $p$ と $q$ が与えられたとき、それらの積 $pq$ と $qp$ を求めます。ここで $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$, $q = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ です。

## 問題4.2 (1) の解答

1. 問題の内容

置換 $p$ と $q$ が与えられたとき、それらの積 $pq$ と $qp$ を求めます。ここで

$p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$, $q = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

です。

2. 解き方の手順

* 積 $pq$ を求めるには、まず $q$ で $1, 2, 3, 4$ がそれぞれ何に写されるかを確認し、次に $p$ でそれらが何に写されるかを確認します。

* 1 は $q$ で 2 に写され、2 は $p$ で 4 に写されるので、$pq$ で 1 は 4 に写されます。

* 2 は $q$ で 4 に写され、4 は $p$ で 1 に写されるので、$pq$ で 2 は 1 に写されます。

* 3 は $q$ で 1 に写され、1 は $p$ で 3 に写されるので、$pq$ で 3 は 3 に写されます。

* 4 は $q$ で 3 に写され、3 は $p$ で 2 に写されるので、$pq$ で 4 は 2 に写されます。

よって、$pq = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$ となります。

* 積 $qp$ を求めるには、$p$ で $1, 2, 3, 4$ がそれぞれ何に写されるかを確認し、次に $q$ でそれらが何に写されるかを確認します。

* 1 は $p$ で 3 に写され、3 は $q$ で 1 に写されるので、$qp$ で 1 は 1 に写されます。

* 2 は $p$ で 4 に写され、4 は $q$ で 3 に写されるので、$qp$ で 2 は 3 に写されます。

* 3 は $p$ で 2 に写され、2 は $q$ で 4 に写されるので、$qp$ で 3 は 4 に写されます。

* 4 は $p$ で 1 に写され、1 は $q$ で 2 に写されるので、$qp$ で 4 は 2 に写されます。

よって、$qp = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ となります。

3. 最終的な答え

$pq = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

$qp = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$